几何选,不等式证明,坐标系和参数方程,矩阵变换.doc
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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理
2008年高考数学试题分类选编 北大附中广州实验学校 王 生
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2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
(19选修4:几何证明选讲、坐标系与参数方程、
不等式选讲、矩阵与变换)
一、几何证明选讲:
1. (2008广东文、理)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2. AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B,PB=1, 则圆O的半径R=_______.
1.解: 如图,因为PA是圆O的切线,PBC是圆O的割线,PA=2,
PB=1.由切割线定理,知,所以PC=4.
在Rt△PAC中,由购股定理AC2=16-4=12,所以AC=2.
所以, 圆O的半径R=.
2、(2008海南、宁夏文、理)如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A作直线AP垂直直线OM,垂足为P。
(1)证明:OM·OP = OA2;
(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明:∠OKM = 90°。
2.解:(Ⅰ)证明:因为是圆的切线,所以.
又因为.在中,由射影定理知,
.
(Ⅱ)证明:因为是圆的切线,.
同(Ⅰ),有,又,
所以,即.
又,
所以,故.
3.(2008江苏) B
C
E
D
A
如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:.
证明:如图,因为 是圆的切线,
所以,,
又因为是的平分线,
所以
从而
因为 ,
所以 ,故.
因为 是圆的切线,所以由切割线定理知,
,
而,所以
二、坐标系与参数方程:
1.(2008重庆文)曲线C:(为参数)的普通方程为 (C )
(A)(x-1)2+(y+1)2=1 (B) (x+1)2+(y+1)2=1
(C) (x-1)2+(y-1)2=1 (D) (x-1)2+(y-1)2=1
2.. (2008湖北文)圆的圆心坐标为 (3,-2),和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是 (x+2)2+(y-3)2=16 .
3.(2008福建理)若直线3x+4y+m=0与圆(为参数)没有公共点,
则实数m的取值范围是 .
4.(2008广东文、理)已知曲线的极坐标方程分别为(),则曲线与交点的极坐标为_____.
4.解: 曲线的直角坐标方程分别为,且,两曲线交点的
直角坐标为(3,). 所以,交点的极坐标为.
5.(2008江苏)在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求的最大值.
5.解: 因椭圆的参数方程为
故可设动点的坐标为,其中.
因此
所以。当是,取最大值2
6、(2008海南、宁夏文、理)已知曲线C1:,曲线C2:。
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线,。写出,的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由。
6.解:(Ⅰ)是圆,是直线.
的普通方程为,圆心,半径.
的普通方程为.
因为圆心到直线的距离为,
所以与只有一个公共点.
(Ⅱ)压缩后的参数方程分别为
:(为参数); :(t为参数).
化为普通方程为::,:,
联立消元得,
其判别式,
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和与公共点个数相同.
三、不等式选讲选:
1. (2008广东理) (做题)已知,若关于的方程有实根,则a的取值范围是_______.
1.解: 因为关于的方程有实根,所以
整理的, 解得. 所以,a的取值范围是
2、(2008海南、宁夏理)已知函数。(1)作出函数的图像;(2)解不等??。
2.解:(Ⅰ)
图像如下:
(Ⅱ)不等式,即,
由得.
由函数图像可知,原不等式的解集为.
3.(2008江苏)设a,b,c为正实数,求证:.
证明:因为为正实数,由平均不等式可得
即
所以,
而
所以
四.矩阵与变换:
1.(2008江苏)选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系中,设椭圆在矩阵eq \b\bc\
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