极小值原与理及应用 .ppt

南京工业大学自动化学院 第三讲极小值原理及应用 主要内容 3.1 极小值原理的提出 3.2 连续系统极小值原理 积分型最优控制问题 综合型最优控制问题 3.3 离散系统极小值原理（自学） (1) 在一般情况下，可以将控制函数U(t)所受到的约束条件利用如下形式的不等式来表示. 当控制函数U(t)受到上述不等式约束,并且最优控制取决于闭集性约束的边界时，特别要求?H/?U(t)有定义，古典变分法便不再适用了。 (2)在应用古典变分法来求解最优控制问题时，要求函数?[X ( tf ) ,tf ], L[X(t),U(t),t] , f [X(t), U(t) ,t] 对它们的自变量具有“充分”的可微性. 例如： (1)当控制函数U(t)不受约束或只受开集性约束条件下， 定理3-1 （积分型最优控制问题的极小值原理） (1) 设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量?(t)，使得X*(t)和?(t)满足规范方程： (2)一个函数的最小值点与该函数反号后的最大值是一致的。 定理3-2 （积分型最优控制问题的极大值原理） (1) 设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量?(t)，使得X*(t)和?(t)满足规范方程： 用极小值（极大值）原理解最优控制问题的一般步骤 （1）列出哈密顿函数 3.由状态方程和协态方程 例 3-1 给定一阶线性系统和初始条件 其中控制作用u(t)（控制函数）的约束条件为 要求确定控制函数u(t) ，使性能泛函 达到极小值 。 关于极小值原理的几点说明 （1）极小值原理将经典变分法得到的控制方程 修改为 但是，并不改变正则方程及横截条件。因此，可从上式解得 并将其代入正则方程，同样可以得到一组两点边值微分方程。 （2）极小值原理扩大了变分法的适用范围 极小值是对古典变分法的发展。不仅可以用来求解函数U(t)不受约束或只受开集性约束的最优控制问题，而且也可以用来求解控制函数U(t)受到闭集性约束条件的最优控制问题。这就意味着极小值原理放宽了对控制函数U(t)的要求。 极小值原理没有提出哈密顿函数H对控制函数U(t)的可微性的要求，因此，其应用条件进一步放宽了。 （3）全局与局部 由极小值原理所求得的最优控制U(t)使哈密顿函数H达到全局、绝对最大值，而由古典变分法的极值条件?H/ ?U=0所得到的解是H的局部、相对最大值。 极小值原理将古典变分法求解最优控制问题的极值条件作为一个特例概括在自己之中 。 （4）极小值原理是最优控制问题的必要条件 由极小值原理所求得的解能否使性能泛函J达到极小值，还需要进一步分析与判定。 如果根据物理意义已经能够断定所讨论的最优控制问题的解是存在的，而由极小值原理所得到的解只有一个，那么，该解就是最优解。实际上，我们遇到的问题往往属于这种情况。 2、综合型最优控制问题 问题3-2 给定系统的状态方程： （ 3.1） 其中f是n维连续可微的向量函数。X(t)是n维状态变量，已知其初态为 X(t0)=X0，终端时刻tf是可变，终端的约束条件为： （3.2） 其中?是r 维连续可微的向量函数，且rn，U(t)是m维控制变量，且其约束条件为