1.3.2 极大值与极小值【荐】.ppt

1.3.2 极大值与极小值 单调性与导数的关系： 设函数y=f(x)在某个区间内可导， 如果f ′(x)0，则f(x)为增函数； 如果f ′(x)0，则f(x)为减函数； 如果f ′(x)=0，则f(x)为常数函数； 复习: 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点? 观察图像： 一、函数的极值定义 一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值------不一定最大或最小） 使函数取得极值的点x0称为极值点 数学建构 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。 注　意 2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 y x O 观察与思考：极值与导数有何关系？ 在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。 a b y=f(x) x1 f ?(x1)=0 x2 f ?(x2)=0 x3 f ?(x3)=0 x4 f ?(x5)=0 x5 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 数学建构 请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 1、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极小值； 已知函数f(x)在点x0处是连续的，则 二、判断函数极值的方法 x2 左正右负为极大，右正左负为极小 注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值； ②函数在极值点必有定义； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 ② 例1 求函数 的极值。 y y′ (2，+∞） 2 (-2，2） -2 (-∞，-2） x 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2 当x变化时，y′, y的变化情况如下表： 因此，当x=-2时， y极大值=17/3 当x=2时， y极小值=－5 + + 0 - 0 极大值 17/3 极小值 -5 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 + (0,1) 0 1 y + 0 － 0 － y′ (1,+∞) 0 (-1,0) -1 (-∞,-1) x 解：定义域为R， y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1 当x变化时