1.3.2极大值与极小值[优质课].ppt
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高中数学 选修2-2
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1)如果在某区间上f ?(x)>0 ,那么f (x)为该区间上的增函数,
2)如果在某区间上f ?(x)<0 ,那么f (x)为该区间上的减函数.
一般地, 设函数y=f(x) ,
导数与函数的单调性的关系
知识回顾:
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(2)求导数f ?(x)
(1)求y=f(x)的定义域D
(4)与定义域求交集
利用导数讨论函数单调的步骤:
(5)写出单调区间
(3)解不等式f ?(x)>0;或解不等式f ?(x)<0.
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(问题情境)
观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、 P点的函数值以及点P位置的特点.
函数图象在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),在P点附近,P点的位置最高,函数值最大
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函数极值的定义
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作
y极大值= f (x0);如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹥f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f (x0).
极大值与极小值同称为极值.
取得极值的点称为极值点
数学建构
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(1)极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
(2)函数的极值不一定惟一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值;
(3)极大值与极小值的大小没有必然关系,极大值可能比极小值还小.
(4)极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能作为极值点.
学生活动
(1)极值是函数的最值吗?
(2)函数的极值只有一个吗?
(3)极大值一定比极小值还大吗?
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x
x0左侧
x0
x0右侧
f?(x)
f(x)
观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?
x
x0左侧
x0
x0右侧
f?(x)
f(x)
f?(x) 0
f?(x) =0
f?(x) 0
极大值
f?(x) 0
f?(x) =0
极小值
f?(x) 0
数学建构
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值?
左正右负为极大,右正左负为极小
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函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A 导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B 导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C 导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D 导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
D
学生活动
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例1:求f(x)=x2-x-2的极值.
解:
因此,当x= 时,
f(x)有极小值f( )=- .
f ?(x)=2x-1,令f ?(x)=0,解得x= .列表:
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请思考求可导函数的极值的步骤:
一览众山小
强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号.
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小吃篇
求下列函数的极值.
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