线性变换与矩阵基本结论.PPT

高 等 代 数 基本内容 基本题型 例题 小测验 基本内容 一、线性变换及其运算 二、线性变换与矩阵 三、特征值与特征向量 四、线性变换与矩阵的对角化 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法. 难点： 重点： 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 一、线性变换及其运算 基本结论： 基本概念： 线性变换；可逆线性变换与逆变换；线性变换的 值域与核；线性变换的秩与零度；线性变换的和、 差、积及数量乘法；线性变换的幂和多项式. 1） 2）线性变换的基本运算律 3）线性空间V上所有线性变换作成的集合关于线性 变换的加法和数量乘法构成一个线性空间L(V)，且 若 dim(V)＝n，则 间，且若　　　　　　　　　则 4）线性变换　的值域　　与核　　 都是V的子空 　的秩＋　的零度＝n； 　是单射　　 是満射. 二、线性变换与矩阵 基本结论： 基本概念： 线性变换基下的矩阵；相似矩阵 任意n个向量，则存在唯一的线性变换　，使 1）若　　　　　为V的一组基，　　　　　为V中 2）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反之, 矩阵相似 则可看作同一线性变换在不同基下的矩阵. 3）任意取定线性空间V的一组基　　　　　 后， 这里A为　在基　　　　　下的矩阵. 则　就是　　到　　的一个同构映射. 作映射 从而，对任意　　　　　　　　　，若　　在基　　　 下的矩阵分别为A、B，有 若　可逆，则A可逆，且 4）设　　　 对　　　，若　在基下的坐标为 则　　在基下的坐标　　　　　　満足 或 三、特征值与特征向量 基本结论： 基本概念： 线性变换（矩阵）的特征值与特征向量；特征多项 式与最小多项式；特征子空间. 1）线性变换与其在某组基下的矩阵的特征值、特 征向量及特征子空间之间的关系.（略） 2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 3）相似矩阵具有相同的特征多项式与最小多项式. 4）Hamilton-Caylay定理： 为A的特征多项式, 则 设V的线性变换　在某组基下的矩阵为A， 5）设　　　是矩阵A的最小多项式，　　以A为根 特别地，　　　　　　　　为A的特征多项式. 四、线性变换与矩阵的对角化 基本结论： 基本概念： 不变子空间；Jordan标准形 有n个线性无关的特征向量 ； 的所有不同特征子空间的维数之和等于n ； 　在某组基下的矩阵为对角形 1）设　为数域P上n 维线性空间V的线性变换，则 可分解为n个一维不变子空间的直和. 2）　有n个不同特征值　　 可对角化. 2）　有n个不同特征值　　 可对角化. 3）设　为数域P上n 维线性空间V的线性变换，则 　在某组基下的矩阵为准对角形 可分解为一些　－子空间的直和. 　在某组基下的矩阵为对角形 的最小多项式是P上的互素的一次因式的乘积. 特别地，　　　　与对角矩阵相似 的最小多项式没有重根. 4）若当标准形存在定理.（略） 基本题型 一、线性变换判定与运算、线性变换的矩阵 二、线性变换与矩阵的特征值、特征向量的求法 三、线性变换与矩阵的对角化判定、化法及证明 四、线性变换的值域与核的求法及有关证明 五、不变子空间的判别 例1、设T是线性空间V上的线性变换，如果 但　　　　 求证： 线性无关. 证：设 （1） 用　　作用（1）的两端，得 由　　　　　 即有 从而 依此类推可得 于是(1)式为 （2） 再用　　作用(2)，可得 线性无关. 例2、设 　　 为线性空间V的基，V的线性变换T在 若基 基 　　下的矩阵为 其中　　 　求　　在　　　下的矩阵. 解：记　　　　　　则 于是T可逆，且　　在基　　　下的矩阵为 又　　 到　　 的过渡矩阵 于是　　在 　　下的矩阵为 从而　　　 在 　　下的矩阵为 而　 （用数学归纳法验证之）