清华大学《概率论与数理统计》概率论与应用统计学－第一讲-崔-455306336.ppt

试验的独立性和独立重复试验序列 由例7(1)有放回抽样，记E1与E2为第一次与第二次抽样，记?i = (Ai , Ai)， i = 1, 2 可知A1与独立A2 , A1A2独立， · · · 可以说E1与E2独立。 记随机试验 E(k) 的样本空间为 ?(k)，概率空间为(?(k), F (k), P (k)) (1 ≤ k n)，两个试验E(1)与E(2)相互独立，粗略地说，即E(1)中的每个事件A(1) ∈F (1)与E(2)中的任一事件A(2) ∈F (2) 相互独立。 * 定义： 记n个试验E(n)的复合试验为E = E(1)×E(2)×· · ·×E(n) = E(i) 它对应的样本空间为? = ?(1)×?(2)×· · ·×?(n) = ?(i) 相应的概率空间为(?, F, P )，其中F = Fi ，是 (?, F )上的概率测度。 A(k)∈ F(k)（即E中仅与第k次试验E(k) (1 ≤ k n)有关的事件），如果P (A(1)A(2)· · ·A(n) ) = P(A(1) )P(A(2) ) · · · P (A(n))，则称试验E(1) , E(2) , · · · E(n)相互独立。 * * 一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件； 但重复次数足够多，如n=400， 至少一次成功就是大概率事件！ 只要功夫深， 铁杵磨成针！ * 注： 以上定义中的F 可以这样理解： F = σ{A(1) × A(2) × · · · ×A(n), A(k)∈ F(k), 1 ≤ k ≤ n}. 一般地，对于可列个试验E(1) , E(2) , · · · E(n) , · · · ，若其中任意有限个相互独立，则称{E(n) , n ≥ 1}为独立试验序列。 在这里我们用事件的独立性导出了试验的独立性的定义。 * 定义： 若 E(1), E(2) , · · · E(n)相互独立，且E(i) = E，?(i) = ?， ? = ?(i) = ?n ，则称 E(1), E(2) , · · · E(n) 为n次独立重复试验序列。 若每个试验只关心一个事件A的发生与否(例如射击的中与不中)，则称之为n次伯努利试验。 直观地讲，n次独立重复试验序列就是指独立地、 重复地进行同一个试验n次；其中每次试验的每个结果不受其他试验结果的影响。 * 例 9 设某人独立地重复射击n次，每次击中目标的概率为p∈ (0 ,1)。求： (1) 给定的k (0 ≤ k ≤ n)次击中目标，而其余均未击中的概率； (2) 恰好击中k (0 ≤ k ≤ n)次的概率； (3) 至少有一次击中的概率。 * 解： 令 Bk = {给定的k次击中目标,而其余均未击中}； Ck ={恰好击 中k次}； D ={至少有一次击中}； 由独立性知 P (Bk ) = pk (1 ? p)n?k P (Ck ) = pk (1 ? p)n?k P (D) = 1 ? (1 ? p)n * 例 10 通信中通常采取重复发送信号的方法来减少在接收中可能发 生的错误。假定发报机只发0和1两种信号， 接收时发生错误（收为1或收为0）的概率为0.05。为减小错误，采取每一信号连发3次， 接收时按数目多的来判断信号，求在此情形下判错一个信号的概率。 * 解： 每个信号的判定包含连续3次信号的接收，这3次信号的接收可视为相互独立的伯努利试验。 设Ai =“有i次接收错误”(i = 1, 2, 3), B =“判定信号发射错误” 由题意 P (B) = P (A2) + P (A3) 又 P (A1) = (0.05)i(1 ? 0.05)3?i 所以 P (B) = (0.05)2(1 ? 0.05) + (0.05)3 = 0.00725 因此，判错的概率大大减小了。 * * 7. 8. 可列次可加性 9. 概率连续性 第四节 条件概率与全概率公式 * 定义： 设( ?, F, P )为概率空间，A, B ∈ F，P (B) 0， 称P (A|B) =P (AB)/P (B) 为事件A关于事件B的条件概率。 条件概率的直观意义是在已知B发生的条件下，事件A发生的可能性，简记为P (A|B)。 * 条件概率 在事件B给定时，P (A|B)也是集合A