不等式矩阵形式的推广.pdf

第28卷第3期 西安科技大 学 学报 V01．28No．3 OFXI’ANI烈TvERS兀-Y 2008年9月 JOIJI矾AL OFSCIENCEANDTECHNOU)GY Sep．2008 文章编号：1672-9315(2008)03-0597一05 不等式矩阵形式的推广 李 萍1，成立花1，魏 峰2 (1．西安工程大学理学院，陕西西安710048；2．西安科技大学理学院，陕西西安710054) 摘要：近几年来，许多关于实数的经典不等式都在矩阵领域得到了很多推广。如文献[1]全面 一几何平均一算数平均不等式引入到矩阵的二次型之中，得到了一些比较有意义的矩阵形式。 本文利用平均值不等式，从可对角化这一概念入手，给出了关于几何一算数平均不等式和几何一 调和平均不等式的矩阵形式，并且进一步给出了矩阵迹和行列式形式的不等式，从而推广了平均 值不等式的矩阵形式。 关键词：几何一算数平均不等式；几何一调和平均不等式；正定矩阵；Hermite矩阵 中图分类号：0152．21 文献标识码：A 1预备知识 近年来，许多关于实数的经典不等式都在矩阵领域得到了推广，如文献[1]全面论述了矩阵论中各种 引入到矩阵的二次型，得到了一些有意义的矩阵形式。本文中从可对角化这一概念人手，给出了几何一 算数平均不等式和几何一调和平均不等式的矩阵形式，并给出了矩阵迹和行列式形式的不等式，从而推 (A)，tr(A)分别表示矩阵A的行列式和矩阵的迹。 引理l 如果菇。，戈2，…，并。为任意的一组正实数，且满足菇。·筇2…菇。=l，则∑髫t≥，1． 其中等式成立的充要条件为：菇。=菇：=…‰=1． 引理2 如果菇。，菇：，…，菇。为任意的一组正实数，且满足戈。·戈：…髫。=1，则 n ”厂-，“ n(荟(茗t)一)～≤√珥石；≤吉蚤I孙f=l Y ‘2l ’’12 其中等式成立的充要条件为：戈，=菇：=…=菇。． 2 主要定理及推论MJ 定理l 设A。，A：，…，A。为n阶的正定阵，且满足Ai^=A一∥J=1，2，…，m，则 f㈦iA。≤告塞A，， 其中等式成立的充要条件为：A。=A：=…=A。． 证明 当A。可以交换时，则它们可以同时酉对角化。即存在酉矩阵P，使得A；=P，．cA，P，i=1，2，…，m， ·收稿日期：2007一lO一30责任编辑：郭西山 目(2006XG31) 作者简介：李萍(1974一)。女。陕西西安人，硕士，讲师，主要从事信息安全与算子理论的研究． 万方数据 598 西安科技大学 学报 2008生 A 厂llA2l…棚 PA。A2…A。P·=PAlP·PA2P·…P·A。P：／▲1A2…／I。：l?AA12A麓0…A葩 ： ： m，移项得到去薹A孑一Av·A筇…A耐≥。， 即 上m i萝=1A