一个分式不等式的类比推广.pdf

62 中学数学教学 2016年第 1期 一 个分式不等式的类比推广 江苏省徐州市第一中学 尹池江 (邮编：221002) 又L1J布Jl用构适 凼教 的万 i去， 冤 准J 』一 雨1+南 +南 ≥詈(南 + 个不等式，笔者读了之后深受启发．在数学通报 数学问题 2244的解答过程(见文[2])中，同样运 + 一1)-t3一_砉_，当且仅当z—— 用切线法构造 函数，证 明了当z、Y、 0，且 一 2时取等号． +南+上lZrz一惦 南 +南 在条件不变的情况下，我们想探究不等式 + ≥ 这个不等式成立．笔者拟用降幂和 — 1+ + +— ≥ 是否成立?借助 zl0 。1+ y0 。1+ z0，／ 5 口肭 ：旧圳 升幂对不等式进行推广，于是得到下面结论 Mathematicsa软件进行探究，结果令笔者失望． 结论l设x,y．zo，且_1+_1+ 如果条件不变，不能保证不等式 + 雨1_1，则雨1+南 +南 ≥手 + ≥号恒成立·继续研究Mathematica软 件画出的图形，发现适当地扩大z、 的范围， 证明设厂()一雨1一丁丰一号)一 可以保证不等式成立．所以对于构造函数 吉(z0)，其中为待定系数． 厂()一研1一蓑 一号)一{一 (z一 2) (7x— 1) 25(1+z)(1+X。)’只要 z 1 ， 厂(z)≥0(当 求导得 (z)一高 + ， ， 为了使得厂()在St：一2时取得最小值0，令 (2)一o，解得一号． 结论2设z、号，且_1+_l+ 所以厂()一雨1一号 一)一吉 雨1_1，则南 +南 +南 ≥号． 一 兰!二 继续对结论中的z、Y、进行升幂研究，借助 3(1+ 。) ‘ Mathematica软件，通过编程作图，发现，当 一 当z 0时，厂()≥ 0，即 再1 一 5、6、7、8．不等式雨』十1”+l十+南l十 ≥ 3 都是成立的 詈r 一号)一吉≥o，当且仅当z一2时取等 ， 再结合文 [2]和结论 1，于是 号 ， 我们猜想到下面一般性结论． 从而}≯≥詈r‘一号)+吉， 结论3设、、0，且 +_1+ 同理南 ≥号(—1)1， 雨1十1Z一l，当∈NN咒≥3时，南I十+‘南l十 雨1≥4雨1一号)+吉． +南 ≥南 成立· 以上三个不等式相加且由条件式l_l + — 卜Z 证明 厂(z)一击 一 ‘一号)一 南+雨1—1得 (x0