第二节(复变函数)(免费哦~)精品.ppt

* * §1.2 复变函数 （一）复变函数的定义 设G是一个复数 的集合. 如果有一个确定的 法则存在，对于集合G中的每一个复数 就有一个或几个 与之对应， 复数 那末称 是 的函数，记为 Z称为w的宗量，定义域为E 在复变函数中，我们重点研究的是解析函数(区域上处处可微分的复函数 ) 复变函数的例子 （二） 区域的概念 满足一定条件的点集，称为区域 Z0及其邻域不属于点集E，称为该点集的外点 闭区域或闭域： D为有界域： 如果区域D被包含在一个以原点为中心的圆里面， 区域D与它的边界，记为 区域是满足以下条件的点集： （1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接 且折线上的点都属于点集 圆形域 环形域 闭圆域 闭环域 单连通域与多连通域 连续曲线： 光滑曲线： 曲线 简单曲线或若当（Jardan）曲线: 简单闭曲线： 没有重点的曲线 重点 简单、闭 简单、不闭 不简单、不闭 不简单、闭 的简单曲线 例： 复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B 多连通域： 单连通域： 非单连通域： 单连通域 多连通域 多连通域 （三） 复变函数举例 多项式 有理分式 根式 其中的字母变量都是复常数 1.指数函数: 定义域：整个z平面 解析域：定义域， 其它性质： （周期性） 2.对数函数 （2）定义域： 解析域：除去原点及负实轴的z平面， 连续域：除去原点及负实轴的z平面 以后，Ln z均指除去原点及负实轴的z平面上的单值分支 其它性质： 幂函数： 3.乘幂 与幂函数 乘幂： 4.三角函数和双曲函数 定义域：整个z平面 解析域：定义域， 其它性质： 定义域：整个z平面 解析域：定义域， 与三角函数的关系： 其它性质： （繁琐） 正弦函数和余弦函数具有实数周期 在实数域中， 复数域中其模为 完全可以大于1 有纯虚数周期 对数函数 由于辐角不能 唯一确定，所以有无限多值。 复变函数lnz在z为负实数时仍然有意义！ 函数的极限 例 定义： 设 定义在 的去心邻域 如果有一确定的数 存在， 内， 对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那末称 为当 趋向 时的极限， 记为 或记为 趋向 的方式是任意的. 注意： 两个定理： 定理一 定理二 例： 证法1 证法2 函数的连续性 定义： 两个定理： 定理一 定理二 有理整函数（多项式） 对复平面内所有的z都是连续的. 对复平面内使分母不为零的点都是连续的. 有理分式函数 [P（z），Q（z）为多项式] 在闭曲线或包括曲线端点在内的连续函数f(z)是有界的。 * *