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第二节(赣氪变函数) .ppt

发布:2017-09-30约1.23千字共23页下载文档
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* * §1.2 复变函数 (一)复变函数的定义 设E是一个复数 的集合. 如果有一个确定的 法则存在,对于集合E中的每一个复数 就有一个或几个 与之对应, 复数 那末称 是 的函数,记为 Z称为w的宗量,定义域为E 在复变函数中,我们重点研究的是解析函数 复变函数的例子 (二) 区域的概念 满足一定条件的点集,称为区域 Z0及其邻域不属于点集E,称为该点集的外点 的内点: 为点集 E z 0 该邻域内的所有点都属于E 的外点: 为点集 E z 0 的境界点: 为 E P 中的点, 总包含有 E , E P ? : 的境界线 E 的所有边界点 E 的去心邻域: 0 z 的邻域: 0 z 的点 也有不属于 E 闭区域或闭域: D为有界域: 如果区域D被包含在一个以原点为中心的圆里面, 区域D与它的边界,记为 区域是满足以下条件的点集: (1)全由内点组成 (2)具有连通性,即点集中的任意两点都可以用一条折线连接 且折线上的点都属于点集 圆形域 环形域 闭圆域 闭环域 单连通域与多连通域 连续曲线: 光滑曲线: 曲线 简单曲线或若尔当(Jardan)曲线: 简单闭曲线: 没有重点的曲线 重点 简单、闭 简单、不闭 不简单、不闭 不简单、闭 的简单曲线 例: 复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B 多连通域: 单连通域: 非单连通域: 单连通域 多连通域 多连通域 (三) 复变函数举例 多项式 有理分式 根式 其中的字母变量都是复常数 1.指数函数: 定义域:整个z平面 解析域:为定义域, 其它性质: (周期性) 2.对数函数 p i |x| ln Lnz x z 0 (2k+1) + = = 时, p i x ln Lnz . x ln |z| ln x z (2k) 0 + = = = 但 时, 特别地, Lnz w z e w = = ,则记 定义:设 幂函数: 3.乘幂 与幂函数 乘幂: 4.三角函数和双曲函数 定义域:整个z平面 解析域:为定义域, 其它性质: 定义域:整个z平面 解析域:为定义域, 与三角函数的关系: 其它性质: (繁琐) 正弦函数和余弦函数具有实数周期 在实数域中, 复数域中其模为 完全可以大于1 有纯虚数周期 对数函数 由于辐角不能 唯一确定,所以有无限多值。 chz i z ch =shz i z sh e e z z = + + = + ) 2 ( , ) 2 ( , p p 2pi 复变函数lnz在z为负实数时仍然有意义! 函数的极限 例 定义: 设 定义在 的去心邻域 如果有一确定的数 存在, 内, 对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那末称 为当 趋向 时的极限, 记为 或记为 趋向 的方式是任意的. 注意: * *
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