第二节(赣氪变函数) .ppt

* * §1.2 复变函数 （一）复变函数的定义 设E是一个复数 的集合. 如果有一个确定的 法则存在，对于集合E中的每一个复数 就有一个或几个 与之对应， 复数 那末称 是 的函数，记为 Z称为w的宗量，定义域为E 在复变函数中，我们重点研究的是解析函数 复变函数的例子 （二） 区域的概念 满足一定条件的点集，称为区域 Z0及其邻域不属于点集E，称为该点集的外点 的内点： 为点集 E z 0 该邻域内的所有点都属于E 的外点： 为点集 E z 0 的境界点： 为 E P 中的点, 总包含有 E ， E P ? : 的境界线 E 的所有边界点 E 的去心邻域： 0 z 的邻域： 0 z 的点 也有不属于 E 闭区域或闭域： D为有界域： 如果区域D被包含在一个以原点为中心的圆里面， 区域D与它的边界，记为 区域是满足以下条件的点集： （1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接 且折线上的点都属于点集 圆形域 环形域 闭圆域 闭环域 单连通域与多连通域 连续曲线： 光滑曲线： 曲线 简单曲线或若尔当（Jardan）曲线: 简单闭曲线： 没有重点的曲线 重点 简单、闭 简单、不闭 不简单、不闭 不简单、闭 的简单曲线 例： 复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B 多连通域： 单连通域： 非单连通域： 单连通域 多连通域 多连通域 （三） 复变函数举例 多项式 有理分式 根式 其中的字母变量都是复常数 1.指数函数: 定义域：整个z平面 解析域：为定义域， 其它性质： （周期性） 2.对数函数 p i |x| ln Lnz x z 0 (2k+1) + = = 时， p i x ln Lnz . x ln |z| ln x z (2k) 0 + = = = 但 时， 特别地， Lnz w z e w = = ，则记 定义：设 幂函数： 3.乘幂 与幂函数 乘幂： 4.三角函数和双曲函数 定义域：整个z平面 解析域：为定义域， 其它性质： 定义域：整个z平面 解析域：为定义域， 与三角函数的关系： 其它性质： （繁琐） 正弦函数和余弦函数具有实数周期 在实数域中， 复数域中其模为 完全可以大于1 有纯虚数周期 对数函数 由于辐角不能 唯一确定，所以有无限多值。 chz i z ch =shz i z sh e e z z = + + = + ) 2 ( , ) 2 ( , p p 2pi 复变函数lnz在z为负实数时仍然有意义！ 函数的极限 例 定义： 设 定义在 的去心邻域 如果有一确定的数 存在， 内， 对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那末称 为当 趋向 时的极限， 记为 或记为 趋向 的方式是任意的. 注意： * *