第二讲方程求根.ppt

方程求根 第二讲 方程求根 主要内容 根的初值确定方法 为了确定根的初值，首先必须圈定根所界的范围，称为圈定根或根的隔离（根区间或隔根区间）。 采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f (x)与x轴交点的横坐标。 根的初值确定方法 二分法 迭代法 基本思想: 收敛条件： 收敛速度： 牛顿切线法 基本思想： 几何意义： 收敛速度： 割线法 Bye Bye ! 　　 　　　　 则迭代过程在 的邻近为 p 阶收敛。 (1) 若 为线性收敛； 则迭代过程在 的邻近 (2) 若 定理 3 之根,在 的邻域 U内 有连续的 p 阶导数，则 设 为 p反映了迭代过程的收敛速度，p越大绝对误差缩减得越快，即方法收敛得越快，它是衡量迭代法好坏的重要标志。不同的迭代法具有不同的收敛阶数。 设已知方程 f (x) = 0 的近似根 x0，且在 x0附近 可用一阶泰勒多项式近似，表示为 当 f (x0) ≠0 时，方程 f (x) = 0 可用线性方程近似代替，即 解此线性方程得 取此 x 作为原方程的新近似根 x1，重复以上步骤， 得迭代公式 此式称为牛顿(Newton)迭代公式。 例9 用牛顿法求方程 在 内一个实根，取初始近似值 解 所以迭代公式为： 列表计算如下： 111.3733333 1.5 3 2 1 0 n 将原方程化为 x – e – x = 0，则 牛顿迭代格式为 取 x0 =0.5，迭代得 x1=0.566311, x2=0.5671431, x3=0.5671433 f(x)= x –e – x ， f (x)=1+ e – x, 用牛顿迭代法求方程 x = e –x 在 x =0.5 附近的根。 例10 解 方程 的根就是曲线 与 轴交点的横坐标 ，当初始值 选取后，过 作切线，其切线方程为： 它与x轴交点的横坐标为： 一般地，设 是 的第n 次近似值，过 作 的切线，其切线与x 轴交点的横坐标为： 即用切线与 x 轴交点的横坐标近似代替曲线 与x 轴交点的横坐标，如图2-4。 若过曲线 y= f (x)上的点 P ( xk , f ( xk ))引切线， 该切线与 x 轴交点的横坐标即为由牛顿迭代公式 求得的 xk+1 , 因此牛顿迭代法也称牛顿切线法。 定理 设 在 满足 则方程 在 上有且只有一个实根，有牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列 收敛于方程 的根 有根 根唯一 产生的序列单调有界，保证收敛。 收敛充分条件： 注：牛顿迭代法收敛性依赖于x0 的选取 x* x0 ? x0 ? x0 牛顿迭代法的迭代函数为 不一定为 0 由于 所以当 时, 只是收敛速度将大大减慢。 1、当 为单根时，牛顿迭代法在根 的附近至少 是二阶收敛的； 2、当 为重根时，设为m重根，则 f (x)可表为 其中 此时用牛顿迭代法求 仍然收敛， 事实上，因为 令 则 可见用牛顿法求方程的重根时仅为线性收敛。 有两种方法可以提高求重根的收敛速度： 1）将求重根问题化为求单根问题，注意函数 所以化为求 u(x)=0的单根是平方收敛的。 计算重根的牛顿迭代法 格式为 下面介绍一个求重数 m 的方法， 则 2）采用如下迭代格式 令 由式 因此可用下式估计 m 得 用牛顿迭代法求 f (x)=(x-1)[sin(x-1)+3x]-x3+1=0 在0.95 附近之根。 取 x0 = 0.95 用牛顿迭代法求得的 xk 见下表。 解 例 11 2.0369 2.0190 2.0028 2.0511 0.5090 0.5047 0.5007 0.5125 0.95 0.9744279 0.9870583 0.9934878 0.9967328 0.9983576 0.9991901 0 1