计算方法 第二章 方程求根_new.ppt

§2.3 迭代法 §2.3 迭代法 §2.3 迭代法 §2.3 迭代法 定义 如果存在邻域 ，迭代过程 对于任意初始值 收敛，则称迭代过程在根 附近具有局部收敛性。 §2.3 迭代法 定理2.3：设在方程 根x*附近有连续一阶导数，且 ， 则迭代过程 具有局部收敛性。 证明：取x*附近的一个 邻域 使得 利用微分中值定理有 §2.3 迭代法 由于 即 于是取 满足(1)对任意 ， ；(2)对任意 所以，迭代过程具有局部收敛性。 迭代法的收敛速度 §2.3 迭代法 定义： 当 时，有 ，( 且为常数)，则称迭代过程是p阶收敛。特别地，当 p=1, 0c1时，称作线性收敛；当 p1, 0c1时，称作超线性收敛； p=2, 0c1 时称作平方收敛。其中 称作迭代误差。 §2.3 迭代法 由微分中值定理有 简单迭代法收敛速度一般是线性的。 简单迭代法的收敛速度。 §2.3 迭代法 例2.3 设两个迭代格式分别是线性收敛和平方收敛的，且 若取精度 ，试估计这两个迭代格式各所需的迭代次数。 解： §2.3 迭代法 得 由 所以线性迭代格式需迭代54次。 §2.3 迭代法 于是 所以 故平方收敛的迭代格式只需迭代6次。 §2.3 迭代法 定理2.4：若 在 的根 附近有连续 阶导数且p-1阶导数全为零， , 则 p阶局部收敛，且有 如果p=1，要求 §2.3 迭代法 证明：由定理2.3知，迭代格式局部收敛。应用泰勒级数展开并注意到p-1导数全为零，有 §2.3 迭代法 于是 或 §2.3 迭代法 例2.4 判断能不能直接用简单迭代法求解下列的方程？ 解：判断方程 能否用简单迭代法求根，要看在根的邻域是否有 §2.3 迭代法 对于(1)， 所以(1)可以用简单迭代法求解。 对于(2)，可知f(1)0, f(3)0,所以[1,3]为有根区间。 所以(2)不能用简单迭代法求解。 §2.3 迭代法 例2.5 证明对于任何初始值 ,由迭代公式 所产生的序列 都收敛于 的根. 证明: 记 则 (1)当 , 故序列 收敛于 的根. §2.3 迭代法 (2)当对于任意 , 把 看作新的迭代初值,由(1)知命题得证. §2.3 迭代法 例2.6 利用迭代格式证明 证明: 考虑迭代格式 §2.3 迭代法 则 记 §2.3 迭代法 当 时, 所以迭代格式产生的序列 收敛于方程 在[0,2]内的唯一根x=2, 即 §2.3 迭代法 作业：证明用迭代格式 产生的序列，对于 均收敛于 作业：为求方程 在 附近的一个根，将方程改写成为下列各式, 试分析各格式收敛性. §2.4 牛顿法(Newton method) 第二章 方程求根 【历史注记】1685年Wallis出版了一本名为《代数》的书，描述了由牛顿发明的一种求解方程的方法。1690年Raphson也发表了这个方法，但略有修改。于是现在通常把这个方法叫牛顿法或Newton-Raphson法。事实上，牛顿本人在1669年就讨论了这个方法，并以方程x3-2x-5=0 为例作了说明，Wallis在其著作中也使用了这个例子，此后每一个学数值分析的学生都认识这个历史悠久的方程。 §2.4 牛顿法 牛顿法的解释：使用牛顿法时总假设函数f(x)是一阶可微的，