理论物理导论第一章.ppt

例2：如图所示，质量为m，半径为r的匀质轮在质量 为 、半径为R的薄壁筒内无滑动地滚动，设起始 时系统静止，且OC与重力方向夹角 。试求运动中圆筒 转角 与 的关系。 解：系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取 与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，则从轮C的速度 分析，有 。 因L不含 (其中 为循环坐标)，故相应的广义动量守恒，初始系统静止，故 设O为零势能位置，系统拉格朗日函数为 即 此处利用拉氏方程的循环 积分，使问题求解大为简化。 对t 积分，并注意到 时， ， 得 * * 如图所示，4根等长均质杆铰联悬挂于重力场中，每杆重量为G，长为l，试求平衡时杆的水平倾角 与 之间的关系。 解：完整系统k=2，两组对称杆重心竖向坐标分别为 2 典型例题3 (a) 给对称虚位移: 又 常数，故 (b) 由 ，得 (c) 将式(a)，(b)代入式(c)得 惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力F的作用，问下部力FQ的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 为已知角，且不计摩擦。 典型例题4 解：自由度 ，取?为广义坐标 故 由 图示椭圆规机构，连杆AB长 l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 研究整个机构，系统的所有 约束都是完整、稳定、理想的。 典型例题5 解：建立图示直角坐标系: 由 有 即 故 多跨静定梁，求支座A处的约束力。 解：将支座A除去，代之相应的约束力FA 。 典型例题6 给图示虚位移： 列虚功方程 故 因 2 扩展例 1 已知： m ，R, f ， ?。 求：圆盘纯滚时质心的加速度。 θ C mg ? aC FIR MIC ?x 解：1、分析运动，施加惯性力 2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 ?x。 3、应用动力学普遍方程 其中： 扩展例 2 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ?－ O1 y1轴的旋转角速度。 求： ?－ ? 的关系。 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = ? 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 FIB FIA m1g m2g m1g ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g ?rC ?? ?rB ?rA 2、令系统有一虚位移??。A、B、C 三处的虚位移分别为?rA、?rB、 ?rC 。 3、应用动力学普遍方程 根据几何关系，有 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g ?rC ?? ?rB ?rA 3、应用动力学普遍方程 * 势力场中的虚功方程 有 即 —势力场中的虚功方程。 代入虚功方程 主动力 有势时， 有势函数 且 即对于保守系统，质点系平衡时，势能取驻值状态。 单自由度系统 : 例如: 时， 时， 稳定 不稳定 时， 拐点 例1：如图所示，均质杆AB长 ，质量 ， 弹簧刚度系数 ，当杆与铅直方向夹角 时， 弹簧正好为原长,试求杆的平衡位置，并判断其稳定性。 解：取弹簧原长为零势能状态，过B的水平面为重力势能零势面， 则任意 位置时系统势能: 由 ，有 故 再由 可知 再由 为不稳定平衡位置; 为稳定平衡位置。 例2：图示机构在重力W及弹簧约束下处于平衡，杆长l，弹簧系数为 k，原长为b。不计杆重，求平衡条件。 8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性 解：系统为保守系统。 由 有 故 8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性 广义动量积分(守恒) 完整、理想约束、保守系统，若L中不含qr，则qr叫循环坐标，且有 即 常数