理论物理导论-分析力学习题.pptx

拉格朗日用全新方法来处理力学问题，无论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束质点组的力学问题。分析力学讨论习题课拉格朗日方程

[例1]求质点在重力场中的动力学方程01广义坐标为x,y.z0203S=3

代入

广义坐标为S=1[例2]求质点在单摆中的动力学方程

01动力学方程代入

［例3］如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子的质量可忽略不计。分析：利用拉格朗日方程组可求解关键是找出广义坐标，因三个重物，二个滑轮，在同一平面作一维运动，需5个参量描述，又A固定和两个绳长一定的约束，故只需2个独立坐标q1，q2

解：建立如图所示的一维坐标系Ox三重物分别对应的坐标为x1，x2，x3设滑轮A、B半周长分别为s1和s2由图中几何关系有：滑轮A、B上的绳长分别为l1和l2重物速度

体系的势能为：不计滑轮和绳的质量，那么体系的动能为：

体系的拉格朗日函数为：代入拉格朗日方程组有：化简为：

解得：所以各重物的加速度为：

虚功原理（虚位移原理）在给定瞬时t，质点为约束所允许的可能发生的无限小位移虚位移的发生不需要时间虚位移的个数有无穷多个虚位移垂直于约束曲面在该点的法线，位于约束曲面的切平面，不破坏约束不耗时实位移dt(≠0)时间内，质点发生的真实位移耗时虚位移

约束分类几何约束运动约束(微分约束)稳定约束不稳定约束不可解约束(双侧(面)约束)可解约束(单侧(面)约束)完整约束不完整约束可积分成几何约束不可积分成几何约束

?等时变分算子；d微分算子为?t(=0)内满足变分约束方程的矢径的变分设函数数学处理上，设想虚位移发生在虚拟时间?t(=0)内在稳定约束情况下，实位移是无数虚位移之中的一个定义在不稳定约束情况下，实位移则不一定是虚位移之中的一个

实功作用在质点上的力在dt时间内，在实位移上做的功设质点受到主动力和约束力，发生了位移虚功作用在质点上的力在任意时刻的虚位移上做的功

01所作的虚功之和为零02力学体系下，诸约束力03在任意虚位移04中，05的约束06如光滑面,光滑曲线,光滑铰链等07,但08如刚性杆、不可伸长的绳等理想约束

理想约束条件下，有：则：虚功原理对力学体系有：n个质点的力学体系，每个质点都处于平衡状态，虚功原理（虚位移原理）

虚功原理与平衡态下牛顿第二定律01虚功原理是考虑了理想约束条件下的结果02力系平衡时的虚功03力系平衡时的方程04是等价的05动力学力系非平衡时的方程06动力学力系平衡时的方程07

01达朗伯-拉格朗日原理02设质点系的质点Pi受主动力Fi的作用，质点系的约束都是理想、双面约束，可能运动ri=ri(t)是真实运动的充分必要条件是：03动力学普遍方程

牛顿定律—将约束用反力来代替，直接给出各质点真实运动和主动力、约束反力的关系达朗伯-拉格朗日原理—先考虑约束对运动的限制，在约束允许的可能运动中找出真实运动。牛顿定律和达朗伯-拉格朗日原理是等价的，但它们的思路是不同的。动力学普遍方程

牛顿定律A对理想约束B

由理想约束的定义和达朗伯-拉格朗日原理：01用约束反力代替约束后，质点系就变成了自由质点系，所有虚位移都是相互独立的，故02

确定研究对象：整体受力分析：画出作功的主动力运动分析：分析加速度给出虚位移，找出它们之间的关系几何法：根据约束的几何关系，直接找出各点虚位移之间的关系解析法：对约束方程进行变分，即可求得各点虚位移之间的关系列出动力学方程，并求解达朗伯原理解题步骤

建立如图所示系统的运动微分方程。例1

解法1

解法2

TT请比较用牛顿定律、达朗贝尔-拉格朗日原理和拉格朗日方程解题的优缺点。运动分析受力分析列写运动微分方程解法3牛顿定律

建立如图所示单摆的运动微分方程。例2

解1：202Xan

分析力学的优点消去“理想约束”，减少方程组中未知量的个数；理论完整，涉及范围广，内容丰富；学习分析力学不仅是为了提高和深化力学知识，也是为后续课程学习的的需要。哈密顿正则方程和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。

010203分析力学的缺点数学推理多，容易使人忽略力学的物理实质，因此用数学来解决问题时要注意物理意义，数学毕竟是一种工具，归根结蒂要用物理知识来判断。自己推导弹簧振子的动力学方程式（分析力学方法）