专题19 外接球、内切球与棱切球-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）（原卷版）.docx
专题19外接球、内切球与棱切球
目录
TOC\o1-1\h\u题型一：基础：长方体模型 1
题型二：基础：四面体对棱相等模型 2
题型三：重要模型：线面垂直型 3
题型四：重要模型：面面垂直型 5
题型五：常见几何体：棱锥型 6
题型六：常见几何体：圆锥型 7
题型七：常见几何体：圆台型 8
题型八：常见几何体：棱台型 9
题型九：常见几何体：组合体型 10
题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形 11
题型十一：两线交心法模型：二面角型 12
题型十二：动点与翻折型外接球 14
题型十三：外接球最值范围型 14
题型十四：内切球 16
题型十五：棱切球 17
题型十六：综合难题 18
结束 19
题型一：基础：长方体模型
正方体的棱长为
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).
1．（24-25高二上·安徽宣城·开学考试）在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为（????）
A． B． C． D．
2．（22-23贵州黔东南·模拟）我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体中，分别为棱的中点，当时，四面体的外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
3．（20-21高三下·江苏·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某鳖臑的外接球半径为1，则该鳖臑的体积最大值为（????）
A． B． C． D．
4．（22-23高按·辽宁沈阳·模拟）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（????）
A． B． C． D．
5.（22-23·浙江温州·模拟）阳马和鳖臑［biēnào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（????）
????
A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B．鳖臑的外接球半径为
C．鳖臑的体积为正方体的 D．鳖臑内切球半径为
题型二：基础：四面体对棱相等模型
对棱相等
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝eq\f(x2＋y2＋z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
2．（2022高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（????）??
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（????）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·四川绵阳·模拟）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积
A． B． C． D．
4．（2023高三·河南·模拟）四面体S-ABC中，三组对棱分别相等，依次为，，5.则此四面体的体积为.
A．20 B． C． D．30
5．（2024高三·全国·模拟，多选）一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体．下列结论正确的是（????）
A．若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体
B．等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直
C．三组对棱长度分别为，，的等面四面体外接球的表面积为
D．过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为
题型三：重要模型：线面垂直型
线面垂直型：
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1图2
2.计算公式
1．（20-21高按·河北唐山·模拟）已知三棱锥中，面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球表面积为（????）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·河