专题20 直线方程应用-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用） （解析版）.docx
专题20直线方程应用
目录
TOC\o1-1\h\u题型一：斜率几何意义 1
题型二：倾斜角范围最值 4
题型三：函数值域型求倾斜角 7
题型四：直线方向向量 10
题型五：含参直线过定点 11
题型六：双直线含参型定圆 14
题型七：截距式应用 17
题型八：直线一般式方程理论 19
题型九：直线光学性质 21
题型十：两点距离公式应用 26
题型十一：平行线应用 29
题型十二：对称：“将军饮马”型最值 32
题型十三：绝对值型 35
题型十四：对称：叠纸型 38
题型一：斜率几何意义
斜率型分式几何意义
斜率型分式几何意义
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).。
若满足
1．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（????）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.故选：C.
2．（20-21高一下·辽宁大连·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】设，则可根据的几何意义求出满足的关系，从而可得正确的选项，也可利用辅助角公式求出函数的最值.
【详解】法1：，故f(x)的定义域为，
当时，，此时，.当时，，
设，若，则，当且仅当时等号成立，故，
若，则，当且仅当时等号成立，故，
又的几何意义为圆上的动点与连线的斜率，
而的轨迹为如图所示的两条射线，
对于给定的，分别过的切线的斜率的较大者、较小者，
设切线斜率为，则切线的方程为：，整理得到：，故，
整理得到，故，故A正确，B错误.
而，因，故，故CD错误.
故选：A.
法2：设，则，整理得到：，
若，，此时，.若，则，
其中因，故，
故，整理得到：①，
此时，故①的解为，
其中为方程的根，
故，故A正确，B错误.
而,因为，当且仅当时等号成立，故，故排除CD.
综上，，故选：A.
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案．
【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率，
画出函数的图象，如图，
直线的斜率分别为，，，而，
所以，，的大小关系是.故选：A
4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（????）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC
5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是．
【答案】
【分析】先分析和的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列出关系式求解即可.
【详解】.
的几何意义为表示以点为圆心，为半径的圆.
的几何意义为过点Px,y和点的直线斜率，点Px,y为以点为圆心，为半径的圆周上任一点.结合图形可知：当直线与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值.
设直线的斜率为，则直线方程为：，即.令，
解得：或，即的取值范围为，所以的取值范围为.故答案为：
题型二：倾斜角范围最值
斜率与倾斜角关系是正切图像
斜率与倾斜角关系是正切图像
由正切图象可以看出：①当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
②当α＝eq\f(π,2)时，斜率不存在，但直线存在； ③当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用斜率的定义与公式得到的范围，进而得解.
【详解】设该直线的倾斜角为，则，因为，，所以，因为，所以，则，所以.故选：C.
2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范