专题19 外接球、内切球与棱切球-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）（解析版）.docx
专题19外接球、内切球与棱切球
目录
TOC\o1-1\h\u题型一：基础：长方体模型 1
题型二：基础：四面体对棱相等模型 4
题型三：重要模型：线面垂直型 6
题型四：重要模型：面面垂直型 9
题型五：常见几何体：棱锥型 12
题型六：常见几何体：圆锥型 16
题型七：常见几何体：圆台型 19
题型八：常见几何体：棱台型 22
题型九：常见几何体：组合体型 25
题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形 28
题型十一：两线交心法模型：二面角型 32
题型十二：动点与翻折型外接球 35
题型十三：外接球最值范围型 38
题型十四：内切球 43
题型十五：棱切球 48
题型十六：综合难题 51
结束 55
题型一：基础：长方体模型
正方体的棱长为
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).
1．（24-25高二上·安徽宣城·开学考试）在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.
【详解】根据长方体的面对角线特点，由对棱，且对棱中点E，F分别满足，，
则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球，如图所示：设长方体的长、宽、高分别为则，，
所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.故选：A
2．（22-23贵州黔东南·模拟）我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体中，分别为棱的中点，当时，四面体的外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过补形的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】设正四面体的棱长为，则：，
在等腰三角形ABF中，，
据此可得：，正四面体的棱长为：.将正四面体补形成正方体如下图所示，
正方体的边长为，正方体的体对角线长为，所以外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.故选：D
3．（20-21高三下·江苏·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某鳖臑的外接球半径为1，则该鳖臑的体积最大值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得鳖臑的一条侧棱垂直于底面，底面为直角三角形，将其补成长方体，结合均值不等式可得答案.
【详解】由题意四面体为鳖臑如图，则侧棱底面,且
故将四面体补成长方体，四面体与该长方体的外接球相同.
所以为外接球的直径，则设，则
，则，当且仅当时取等号.
又四面体的体积,所以故选：B
4．（22-23高按·辽宁沈阳·模拟）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即可得结果.
【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为，
??所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径，
由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，，为三角形内角，所以，则，
又，且，
所以，即，综上，.故选：A
5.（22-23·浙江温州·模拟）阳马和鳖臑［biēnào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（????）
????
A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B．鳖臑的外接球半径为
C．鳖臑的体积为正方体的 D．鳖臑内切球半径为
【答案】BD
【分析】利用题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得到结果.
【详解】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；
对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，
又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，