专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）（原卷版）.docx
专题17数列综合大题归类：求和，放缩不等式
目录
TOC\o1-1\h\u题型一：分组求和：公式法 1
题型二：分组求和：奇偶分段型 2
题型三：分组求和：正负相间型 3
题型四：倒序求和型 3
题型五：裂项相消1：函数型 4
题型六：裂项相消2：指数型 5
题型七：裂项相消3：无理根号型 6
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型 7
题型九：裂项相消5：等差指数混合型 7
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型 8
题型十一：裂项相消7：三角函数型 9
题型十二：裂项型证明数列不等式 10
题型十三：三角函数型数列不等式证明 11
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式 12
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式 13
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式 13
题型一：分组求和：公式法
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差：前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d＝eq\f(n?a1＋an?,2).
等比：前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
1．（23-24高三·河北唐山·模拟）已知数列，，．
(1)证明：数列，为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和．
2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
3．（23-24高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前n项和．
4．（22-23高三·河南郑州·期中）已知数列的前n项和为，且满足
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
题型二：分组求和：奇偶分段型
分组求和法：
分组求和法：
1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
1．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列an中，，前n项和为，bn为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与；
(2)定义新数列满足，，求前20项的和．
2．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（23-24高三下·广东·模拟）已知数列an是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求an
(2)若，，求数列bn的前100项和．
4．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
题型三：分组求和：正负相间型
正负相间求和：
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
1．（24-25高三·全国·练习）已知数列，求数列的前项和．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
4．（23-24高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，是数列的前项和.求
题型四：倒序求和型
倒序求和：
倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数。
1．（2022高三·全国·模拟）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
2．（20-21高三·全国·模拟）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
3．（20-21高三·江苏苏州·期中）已知
（1）若，求；
（2）若，求除以5的余数
4．（23-24高三·四川成都·模拟）已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
题型五：裂项相消1：函数型
函数