几何与线性代数习题及答案.pdf

习题二十 特征值与特征向量 相似矩阵 一、填空题： n n 1． 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量 线性无关 ；若λ ,λ , ,λ 是 阶方阵A 1 2 n n n n 的n 个特征值，则 λ a ， λ A 。 ∑ ∑ ∏ i ii i i 1 i 1 i 1 1 * −1 2 ．已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为1,2,3 ，则A 6 ，( A ) 2/9 。 2 3 ．设A 为n 阶方阵，Ax 0 有非零解，则A 必有一特征值为 0 。 4 ．假设n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素之和都为a ，则A 有一特征值为a ，对应于此特 征值的一个特征向量是(1,1, ,1)T 。 A * 5 ．若 A λ是可逆阵 的一个特征值，则A 有一特征值为 。 λ ⎡1 2 2⎤ T ⎢ ⎥ 6 ．已知向量α (1,k ,1) 是矩阵A ⎢2 1 2 ⎥的一个特征向量，则k -2 ，1 。 ⎢⎣2 2 1⎦⎥ 二、求下列矩阵的特征值和特征向量： ⎛−1 2 2 ⎞ ⎛3 2 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ．⎜ 3 −1 1 ⎟ 2 ．⎜2 0 2 ⎟ ⎜⎝ 2 2 −1 ⎟ ⎜⎝4 2 3 ⎟