线性代数习题一.doc

习题一 2．解： (5) 在排列1 3 … (2n﹣1) 2 4 …(2n)中， 1排在首位，逆序数为0； 3的前面比3大的数不存在，故逆序数为0； …… (2n﹣1)的前面比(2n﹣1)大的数不存在，故逆序数为0； 2的前面比2大的数有(n﹣1)个，即3 5…(2n﹣1)，故逆序数为(n﹣1)； 4的前面比4大的数有(n﹣2)个，即5 7 …(2n﹣1)，故逆序数为(n﹣2)； …… (2n﹣2)的前面比(2n﹣2)大的数由1个，即(2n﹣1)，故逆序数为1； (2n)是最大数，故逆序数为0． 于是这个排列的逆序数为 (6) 在排列1 3 … (2n﹣1) (2n) (2n﹣2) …4 2中， 1排在首位，逆序数为0； 3的前面比3大的数不存在，故逆序数为0； …… (2n﹣1)的前面比(2n﹣1)大的数不存在，故逆序数为0； (2n)是最大数，故逆序数为0； (2n﹣2)的前面比(2n﹣2)大的数由2个，即(2n)和 (2n﹣1)，故逆序数为2； …… 4的前面比4大的数有2(n﹣2)个，即5 6 …(2n)，故逆序数为2(n﹣2)； 2的前面比2大的数有2(n﹣1)个，即3 4…(2n)，故逆序数为2(n﹣1)． 于是这个排列的逆序数为 4．解：(1) (4) 解法一： 解法二： 5．解： (1) 故当或时，上述行列式等于零． (2) 错误解法：根据行列式的性质2的推论可知，若行列式等于零，则该行列式必有两行（列）完全相同．于是或或． 错误原因：命题“若行列式等于零，则该行列式必有两行（列）完全相同”不一定成立．例如当时，，但该行列式并不存在完全相同的两行（列）． 解法一：这是4阶范德蒙行列式，于是 因为互不相等，要使得上述行列式等于零，则必有或或． 解法二：显然当或或时，成立． 又因为是一个关于的3次多项式，故方程在复数范围内存在3个根（重根按重述计算），所以要使得这个4阶范德蒙行列式等于零，则必有或或． 6．解： (4) 解法一： 解法二：升阶法，构造5阶范德蒙行列式． 如果按照第五列展开，则有 所求行列式就是的系数的相反数，即5阶范德蒙行列式中与元对应的余子式． 根据 容易看出，的系数等于 于是所求行列式的值等于． 解法三：逆向思维 由可得 因为 同理，可得 所以把行列式(*)按照第4行展开，可得 (5) 利用数学归纳法 当行列式的阶数时，． 假设当时，结论成立，即 ． 于是当时，把行列式按照最后一列展开，有 8．解： (1) 解法一：仿照课本P.15例11的做法． 把的第行与第2行对调，再把第列与第2列对调，得 根据P.14例10的结论，有 解法二： (2) 仿照课本P.12例8． (3) 这不是范德蒙行列式，但是可以化为范德蒙行列式，从而利用课本P.18例12的结论． 解法一： 把第行依次与第行、第行，……，第1行对调（作次相邻对换）， 把第行依次与第行、第行，……，第2行对调（作次相邻对换）， …… 把第行依次与第行、第行对调（作2次相邻对换）， 把第行与第行对调（作1次相邻对换）， 此时，把一个阶的行列式化为范德蒙行列式 满足的一共有个，故 其中必为偶数． 解法二： 把第行依次与第行、第行，……，第1行对调（作次相邻对换）， 把第行依次与第行、第行，……，第2行对调（作次相邻对换）， …… 把第行依次与第行、第行对调（作2次相邻对换）， 把第行与第行对调（作1次相邻对换）， 接着， 把第列依次与第列、第列，……，第1列对调（作次相邻对换）， 把第列依次与第列、第列，……，第2列对调（作次相邻对换）， …… 把第列依次与第列、第列对调（作2次相邻对换）， 把第列与第列对调（作1次相邻对换）， 此时，利用范德蒙行列式，有 解法三：注意到这是一个阶的行列式． 若是奇数，则是偶数，通过，可得 若是偶数，则是奇数，通过，可得 综上所述，无论是奇数还是偶数，都成立． 解法四： 以此作为递推公式，即得 注意：不能把作为递推公式，因为我们尚未证明的值与的取值无关． (4) 仿照课本P.11例15． (5) 从第行开始，后行减去前行，有 再从第行开始，后行减去前行，有 分别按照第1列、第列展开，可得 9．解法一：，，，，于是 解法二：仿照P.21例13，得 10．解：，，，，，从而 ，，，．