线性代数习题二.doc
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习题二
8．证明：因为是对称阵，所以，从而
即也是对称阵．
9．证明：因为、都是对称阵，所以，．
必要性（由是对称阵证明）
因为是对称阵，所以．
充分性（由证明是对称阵）
因为，所以是对称阵．
12．解：
(2) 记，则，，于是
14．解：
16．解：因为，所以．
又因为，，存在，于是
17．解：因为，所以，即．
又，可逆，于是在上式等号两端右乘，可得．
进一步，在等号两端左乘，可得．
已知，那么成立，即．
又因为，，所以
．
22．证明：因为，所以
(1) ，于是，从而，即可逆，且．
(2) ，于是，从而可逆，且
23．证明：因为可逆，所以．又，故，即也可逆，且
又，故．
综上所述，有．
24．证明：
(1) 当时，．下面用反证法证明．
设，则可逆，于是，从而，，矛盾，假设不成立，命题得证．故当时，．
注意：证明过程中不能出现，因为当时，不可逆．
(2) 当时，．
当时，，，．
26．解：是一个分块对角矩阵，那么
27．解：
(1) 错误解法：根据，所以
正确解法：求就是求阶方阵，使得．
根据的分块情况，对X作相应的分块，设，那么
根据矩阵相等的定义，有，
因为、可逆，所以，即
(2) 同理，可得
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