考研数学一真题解析2013.doc

2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) ，其中k，c为常数，且，则（ ） A. B. C. D. 【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。 【求解过程】：D （洛必达法则）= 由于c为常数，则k-3=0，即k=3，因此。 【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使用，读者对这类题目只要打好基础，多多练习即可；若此类问题解决不好，一定要充分的复习基础，考研数学基础第一。 2.曲面在点处的切平面方程为（ ） A. B. C. D. 【考点分析】：切平面方程求法。 【求解过程】：A 一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（，，） == == = 求得法向量为（1，-1，1），因此。 【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98页，关于切平面和切线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。 3.设，，令，则（ ） A . B. C. D. 【考点分析】：傅里叶级数，收敛定理。 【求解过程】：C 注意观察本题目，和函数形式为正弦级数，因此是奇函数，同时观察的形式，得知周期为2，，为连续点，因此 【方法总结】：傅里叶级数的题目类型比较单一，多数是考查和函数的求法和收敛定理的使用，收敛定理内容见高数（同济版下册）306页，和函数求法见316页。 4.设，，，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则 A. B. C. D 【考点分析】：格林公式。 【求解过程】：D （格林公式），其中表示所围成的部分。如下图，红色部分（）内部被积函数均为正值 可以发现被积函数在内均为正值，且面积大于，因此。 同时的面积大于，并且包括所有部分，而除去的其他部分被积函数均为负值，因此。 并且的面积小于，而包括所有部分，而除去其他部分被积函数均为负值，因此。 综上，最大为。 【方法总结】： 本题考察格林公式的使用，转化为二重积分后亦可直接算出四个积分的值然后比较，但明显增加了计算量。关于格林公式的定义见高数（同济版下册）202页。 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【考点分析】：向量组等价定义。 【求解过程】：B 两个向量组等价，那说明他们列向量可以互相表示。 设A，C的列向量组为（）。 ,对于每一个向量，，C中各个列向量均可由A中列向量表示；由于B可逆，，同理。两个向量组的任何一个列向量向量都可以由对方列向量线性表示。 【方法总结】： 本题考察列向量组等价的定义。 6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ） A. B. 为任意常数 C. D. 为任意常数 【考点分析】：相似矩阵。 【求解过程】：B 两个矩阵相似，他们拥有相同的特征值，分别为2，b，0.设 A=,则= 很明显只要满足a=0即可使A的特征值满足上述条件。 【方法总结】： 本题考察列相似矩阵的定义。 7.设是随机变量，且，，，，则（ ） A. B. C. D 【考点分析】：标准正态分布性质。 【求解过程】：A 全部转化到标准正态分布上。 通过观察标准正态分布图像可知，。 【方法总结】： 本题考察标准正态分布的定义和性质。 8.设随机变量,，给定，常数c满足，则 ( ) A. B. C. D. 【考点分析】：数理统计三大分布。 【求解过程】：C ，，设,因此。 ，因此，可以得知 【方法总结】： 牢记三大分布的形式和性质是解决本题的关键。 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则＝　 。 【考点分析】：隐函数求导，极限。 【求解过程】：1 (设m为n的倒数) 方程左右两边对x求导，得： ，当x=0时，带入得y=1,将他们一并带入上式， 得，因此极限的值为1. 【方法总结】：为0*型的极限，此类极限求法为先将其化作型或者型，然后使用洛必达法则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。