2012年考研数学一真题解析.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 曲线渐进线的条数 （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线条数。 【求解过程】：C 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。 由于， 可知， 的图像是由的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。 由于图像平移并不改变其渐进线的条数。 有两条渐进线，其中一条为水平渐近线，一条为垂直渐近线。 所以也有两条渐近线，选择C。 【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。 例如，把函数依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。则新函数的解析式为 。 方法二：直接求解函数的渐近线。 因为 所以 为水平渐进线。 又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。 又因为所以为垂直渐进线。 综上所述，也有两条渐近线，选择C。 【相关补充】：斜渐进线的求解步骤： 考察是否有？若是，则转2） 考察是否有（常数）？，若是，则转3） 是否有存在？若是，则有斜渐进线， 上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。 在某个趋向下，若存在水平渐近线则一定不存在同一趋向下的斜渐近线。 【方法总结】： 方法一较为快速简单，方法二为常规的做法。 (2) 设函数其中n为正整数，则 （A）（B）（C）（D） 【考点分析】：单点处的函数值。 【求解过程】：A 方法一：利用乘积函数的导数公式 选择A。 方法二：利用单点处的导数定义 方法三：利用特值代入 【方法总结】： 方法一最直接，但是用乘积函数的导数公式计算较为复杂。 方法二求某一点的函数值直接利用导数定义，较为简单。 方法三代入特殊值的技巧在选择题中排除选项很常见，要掌握。 (3) 如果函数在（0，0）处连续，那么命题正确的是 （A）若极限存在，则在（0，0）处可微 （B）若极限存在，则在（0，0）处可微 （C）若在（0，0）处可微，则极限存在 （D）若在（0，0）处可微，则极限存在 【考点分析】：本题考查二元函数连续性，可微性与极限存在性，直接应用可微的定义。 【求解过程】： B 方法一：正向选择法 由于函数在（0，0）处连续， 如果极限存在，则必有= 这样极限存在等价于极限存在， 可知，，从而，由可微性的定义，可知 在（0，0）处可微。 方法二：反向排除法 （A），极限=1存在，而在（0，0）处偏导数不存在，所以不可微。排除A （B）若极限存在，则在（0，0）处可微 （C）=1在（0，0）处可微，而极限不存在。排除B （D）（0，0）处可微，而极限不存在。排除D 【方法小结】： 方法一直接从定义入手; 方法二通过观察已知函数快速构造反例。 (4) 设，则有 （A）（B）（C）（D） 【考点分析】：本题考查定积分的比较性质与区间变换。 【求解过程】：D (5) 设=,=,=,=,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是 （A）（B）（C）（D） 【考点分析】：本题考查向量组的线性相关性。 【求解过程】： C 方法一：利用若两向量对应分量成比例，则两向量线性相关。 可见与成比例，所以与线性相关，所以线性相关，选C。 方法二：联系行列式求解。 ，所以线性相关，选C。 (6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若, ，则= （A）（B）（C）（D） 【考点分析】：本题考查矩阵分块乘法逆用，初等矩阵的逆矩阵，具体的数值矩阵的乘法。 【求解过程】：B 故 选择 B 【基础回顾】：初等矩阵的性质。 (7) 设随机变量与相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则= （A）（B）（C）（D） 【考点分析】：本题考查指数分布的概率密度函数与二元函数的概率取值。 【基础回顾】：服从参数为的指数分布，则其概率密度为 【求解过程】：A 设随机变量与相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则 ，， (8) 将长度为1m的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为 （A）1（B）（C）（D）-1 【考点分析】：本题考查两随机变量线性相关系数。 【求解过程】：D 方法一：利用两随机变量线性相关系数的性质直观含义求解。 设两段长度分别为与，显然，，故两者是负线性相关，所以相关系数为-1。 方法二：利用相关系数的公式求解。 【方法小结】：方法一很简单快速，且利用这一性质求线性相关系数的考点历年真题中出现过。