2013考研数学一真题解析.pdf

2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) x −arctan x 1.已知极限lim =c ，其中k，c 为常数，且c  0 ，则（ ） k x→0 x 1 1 1 1 A. k = c = B. k = c = C. k = c = D. k = c = 2, − 2, 3, − 3, 2 2 3 3 【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。 【求解过程】：D 1 x2 1 1− x −arctan x 1+ x2 1+ x2 1+ x2 1 lim = lim （洛必达法则）=lim = lim = lim k k −1 k −1 k −3 k −3 x→0 x x→0 kx x→0 kx x→0 kx x→0 kx 1 由于c 为常数，则k-3=0，即k=3，因此c = 。 3 【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题 目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使 用，读者对这类题目只要打好基础，多多练习即可；若此类问题解决不好，一定要充分的复 习基础，考研数学基础第一。 2.曲面x2 +cos(xy) + yz +x =0 在点(0,1, −1) 处的切平面方程为（ ） A. x − y +z = 2 B. x +y +z 0 C. x −2y +z = D. x −y −z 0 − −3 【考点分析】：切平面方程求法。 【求解过程】：A F z 一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（ ， ， ） F x F y F x = 2x − y sin(xy) +1=1 F y = −x sin(xy) +z = −1 F z = y =1 求得法向量为 （1，- 1，1），因此x − y +z =−2 。 【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98 页，关于切平面和切 线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。 1 1  3. 设f (x ) x =− ，b = 2 f (x) sin nx ( ，令S(x) =  b sin nx ，则 2 n 0