线性代数-十-教学课件.ppt

例3.9 设向量组a1，a2，a3线性无关，向量组a1，a2，a3，a4 线性相关，试证： 证： 向量组b1， b2， b3可由向量组a1，a2，a3线性表示 ，即 （2）a4可以由a1，a2，a3唯一线性表示 （1） 线性无关 （1）设 记为B=AK R(A)=R(B)=3，因此 线性无关 易得 ， 所以矩阵K可逆，根据矩阵秩的性质， * （2）令A=（ a1，a2，a3 ），B=（A，a4） 因为向量组a1，a2，a3 线性无关，R(A)=3 由向量组a1，a2，a3 ，a4线性相关，R(B)=34 因为R(A)=R(B)=3，所以向量a4可由向量a1，a2，a3 线性表示，且表达式唯一。 * §3 向量组的秩 * 回顾：矩阵的秩 结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数 * 定义3.7 设有向量组 A ,如果能选出 r 个向量a1, a2, …, ar构成向量组 A0,且满足 向量组 A0 : a1, a2, …, ar 线性无关; 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关; 一、向量组的秩 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大线性无关向量组(也称最大线性无关向量组)，简称极大无关组. 极大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩， 记作RA或R(A) * 等价定义 定义3.8 设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的话）都线性相关； 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大无关组． * 有关极大无关组，需要注意的是：1. 向量组 A 和它自己的极大无关组 A0 是等价的;2. 向量组的极大无关组不一定唯一；3. 线性无关的向量组的极大无关组是其本身；4. 向量组的两个极大无关组中所含向量的个数相同 * 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩． 今后，向量组 a1, a2, …, am 的秩也记作 R(a1, a2, …, am ) ． 若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式， 向量组的极大无关组一般是不唯一的． Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个极大无关组． 二、向量组的秩的注释 （P71 定理3.7） 则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个极大无关组， 向量组的两个极大无关组中的向量个数相同． * 例3.11 求矩阵 的秩. 解：用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 三、向量组的秩的求法 * 例3.11 求矩阵 的列向量组的一 个极大无关组. 解：用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 故列向量组的极大无关组含3个向量； * * 故 为列向量组的一个极大无关组. 而三个非零行的首个非零元在1,2,4列，即 知R(a1,a2,a4)=3， * 为把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵 A 再 变成行最简形矩阵 把不属于极大无关组的列向量用极大无关组来线性表示： * 于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解． 即矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同的线性关系. 可以看出： b3 = ?3 b1 + b2 ， b5 =? 2b1 +b2 +b4 所以 a3 = ?3 a1 +a2 ，a5 =? 2a1 + a2 +a4