42方阵的相似对角化与4-3正交矩阵2.ppt

第2节 相似矩阵与矩阵的对角化 ;2.1 相似矩阵及其性质 ; 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B，; 相似矩阵还具有下述性质：A~B = P-1AP=B (1)相似矩阵有相同的秩； r(A)=r(B) (2)相似矩阵有相同的特征值； |λE – A|= | λE – B| (3)相似矩阵的行列式相等；|A|= |B| (4)相似矩阵的迹相等； tr(A)=tr(B);解：由于A和B相似，所以tr(A)=tr(B), |A|=|B| , 即 ; 定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , ??? , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.; 充分性. 设x1，x2，???，xn为A的n个线性无关的特征向量， 它们所对应的特征值依次为l1，l2，???，ln，则有 Axi =lixi (i=1, 2, ???, n) .; 例如，矩阵A= 有两个不同的特征值l1=4，l2=-2,; 推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，???，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , ??? , ln) 相似.;A=; 由于A有3个线性无关的特 征向量x1，x2，x3，所以A相似 于对角阵L .;; 解：由A和B相似可知，它 们的迹、行列式都相等，即; 解：由所给条件知矩阵A 的特征值为l1?1, l2?0, l3? -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值 的特征向量.; 作业： P122页 6;推导;;正交向量组(复习); 证明: (反证) 设a1，a2，???，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余 向量线性表示，不妨设a1可由a2，???，am线性表示，即有一组数 k2，???，km，使 a1＝k2a2+? ? ?+kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+? ? ?+kmam) = (a1 , k2a2)+ ? ? ?+ (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ ? ? ?+ km (a1 , am)=0, 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，???，am线性无关.; 定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,???,am，令; 例3．已知向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T, 线性无关，试将它们正交化、标准化.;(2)再将正交化后的向量组标准化，即令;例如，单位矩阵E为正交矩阵. ; 1．A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT； 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1； 5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组. ;矩阵的对角化; 性质5 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是 其列(行)向量组是标准正交向量组.;①若a1, a2, ???, an为标准正交向量组，则;②若A为正交矩阵，则 ATA= E，即;返回