从三角函数到椭圆函数(献给蓝明月).pdf

本文献给《遇见喜欢数学的女孩》蓝明月的现实原型 从三角函数到椭圆函数 蓝明月 张辰* 摘要 类比是数学学习的常用方法，本文从三角函数出发，运用类比方法对雅可比椭圆函数 做出一个浅显介绍，重点在于证明雅可比椭圆函数加法定理。 关键词：积分反演，类比，加法定理，双周期性 椭圆函数指具有双周期的亚纯函数，历史上的数学大师如欧拉、高斯、阿 贝尔、雅可比、黎曼、魏尔斯特拉斯、庞加莱等人，他们的数学工作多少都与 椭圆函数有关。现一般公认高斯、阿贝尔和雅可比是椭圆函数理论奠基人。长 久以来，因为诸多原因，椭圆函数显得颇为神秘。本文的两位作者尝试用三角 函数作为类比，对一类特殊的椭圆函数，即雅可比椭圆函数sn u ，做一个浅显 介绍，重点在于证明雅可比椭圆函数加法定理。本文涉及内容主要基于阿贝尔[1]. 椭圆积分一般指如下积分 ∫R(z , p(z)) dz 这里R 是一个有理函数，p(z ) 是一个三次或四次的多项式，且没有重根。数学 上已经证明了，椭圆积分是非初等积分。椭圆积分第一次出现在计算椭圆周长 中，故而得名，数学上一般通过研究椭圆积分的标准形式来研究椭圆积分，详 细内容见文献[2]. 本文主要研究第一类椭圆积分 z dx u =∫0 2 2 2 (1− )(1− ) x k x 其中，参数k 满足0 k2 1 . 高斯和阿贝尔研究上述积分的反演，即逆函数z =ϕ(u) , 这里采用阿贝尔的 记号ϕ(u) 来代替标准记号sn u . 考虑椭圆积分的反演是两位数学大师超越前贤 的地方，这也是逆向思维在数学中的典型例子。 利用积分反演定义新函数的一个熟知的例子是 z dx u =∫0 2 =arcsin z 1−x 由此定义了正弦函数z =sin u . 尽管这种定义正弦函数的方式并不是最简单的， * 感谢张辰同学对本文中椭圆函数加法定理和实周期性证明的帮助。 本文献给《遇见喜欢数学的女孩》蓝明月的现实原型 但通过类比有助于理解雅可比椭圆函数。sin u 其实是椭圆积分中k =0 对应的退 化情形（极端情况），下面借助正弦函数加法公式作为类比来研究椭圆函数加法 公式。我们知道，正弦函数sin u 有加法公式 sin(u +v) =sin u cos v +cos u sin v 写成更对称的导数形式是 ′ ′ sin(u +v) =sin u sin v +sin u sin v 注意到ϕ(u) 的退化情形（k =0 时）即为sin u ，我们可以猜想ϕ(u +v) 中有因子 ′ ′ ϕ(u)ϕ(v) +ϕ(u)ϕ(v) 于是，不妨猜想 ′ ′ ϕ(u)ϕ(v) +ϕ(u)ϕ(v) ϕ(u +v) = 2