利用椭圆函数求周期解.pptx

利用椭圆函数构造非线性发展方程的周期解

华北电力大学数理系1

主要内容研究背景1Boussinesq方程的周期解2非线性Schr?dinger类方程的周期解3讨论42

求解一些非线性发展方程时，若无穷远处边界条件不为零，可能会出现周期解。在非线性振动系统、等离子体、流体、大气、Bose-Einstein凝聚体中均观测到周期解对应的周期波。求周期解的方法较多，这里介绍利用椭圆函数构造周期解的方法。

Davey-StewartsonI方程的周期解（?=1）

周期解可用椭圆函数表示

Davey-StewartsonII方程的周期解（?=i）

周期解的表达式为

第一类椭圆积分0k1称为模数可以认为t是u、k的函数Jacobi椭圆正弦函数Jacobi椭圆余弦函数第三种Jacobi椭圆函数

函数和椭圆函数的关系

12543求解非线性发展方程的一个方法为双线性方法，通过引入双线性算子将非线性发展方程的双线性化，例如令，可将KdV方程转化为双线性方程再通过摄动展开，求出方程的解。12345

函数和双线性算子的关系另一方面，则有一方面，

21类似地，由此可见，利用椭圆函数和双线性方程，可构造非线性发展方程的周期解。

Boussinesq方程的周期解

对于Boussinesq方程得到双线性方程通过对数变换由双线性算子性质

得到

只要，那么

求解得到

其中

单周期解双周期解

双周期解动画

非线性Schr?dinger类方程的周期解

非线性Schr?dinger(NLS)方程

将f和g代入双线性方程，得到可推出

约束关系为可推出

四耦合NLS方程组

可得到其中

则有可推出

01四、讨论

谢谢各位！32