第二章 分离变量法(§2.2,§2.3).doc

§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为，两端坐标为。杆的侧面绝热，且在端点处温度为零，而在处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设，代入上面的方程可得 从而可得通解 由边界条件知 从而 令 上方程的解可以看作曲线，交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 于是得到特征值问题的无穷个特征值 及相应的特征函数 再由方程， 可得 ， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 由于方程和边界条件是齐次的，所以 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 可以证明在区域[0,l]上具有正交性，即 证明： 完成。 令 于是， 从而得到定解问题得解 。 §2.3 圆域内的二维Laplace方程的定解问题 平面极坐标和直角坐标的关系是 由此可得 即是 由复合函数求导法则，可得 进一步，可得 在此基础上，还可以得到柱坐标系下的Laplace算符 考虑圆域内的稳定问题： 其在极坐标下的表示形式： 因圆域内温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且表示同一点，故而我们有下约束 下面用分离变量法求解该问题。令 代入极坐标下方程可得： 从而可得常微分方程 由有限性及周期边界条件知 ， 从而得定解问题 求解： ① 时，通解为 由周期边界条件可得 从而，不可取。 ②时，通解为 由周期边界条件可得 B任意，说明为一特征值，相应得特征函数为 。 ③时，通解为 因以为周期，所以有 从而可得特征值 特征函数为 接下来，求特解，并叠加出一般解。由Euler方程 若令，即，则上方程可写为 故① 时，通解 ②时，通解为 为保证，所以可得，即 从而，满足齐次方程和周期条件及有限性的解可以表示为级数 最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得 运用性质 从而可得 因而，我们有 利用下面的求和公式 所以， 称此表达式为圆域内的Poisson公式，它的作用是把解写成积分形式，便于作理论上的研究。 例题 解下列定解问题： 解：利用公式可知， 所以。