电动力学课件 第二章 镜像法和分离变量法.ppt

四、镜像法 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 待求场域 中的电位 上半空间的电场 点电荷对无限大介质平面的镜像 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有有限个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解 当n=2时： 该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中 当n=3时： 角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q″=－q′ 例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。 球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为 球壳外区域任一点电位为 球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 线电荷对导体圆柱面的镜像 待求区域： 边界条件：柱面为等势面 设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，则导体柱面上任一点的电位表示为 其中： 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像 设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和 ，其位置如图所示。 两电轴在空间产生的电位为 等位面方程为 五、分离变量法 理论基础 惟一性定理 分离变量法的主要步骤 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。 直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法 本征方程的求解 (1)当 时 应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解 例5：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。 例6: 一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。 直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法 为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表4-5中给出了一些 的典型组合。表中 和 是由边界条件确定的实数。 解: 选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件 3. 圆柱坐标系中的分离变量法 的解： 解：按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而 例8：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。 4. 球坐标系中的分离变量法 设 ，代入式(1) 中得: 根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0) =0，所以X(x)应选取正弦函数，即 由边界条件(3)得： 对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为 此时，电位可表示为 由边界条件(5)知 其中： 对上式两边同乘以 ，再对x从0到a进行积分，即 满足边界条件的特解为： 解: 从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令 (1)求 ： 类似于“例5”求解过程， 形式为： 由非零边界条件确定 则： 可见，当m≠3时， 当m＝3时： (2)求 ： 其解为： 由非零边界条件