V4-第四章-导热数值解法-2014.ppt

第四章　热传导问题的数值解法 传热学 Heat Transfer 导热问题研究的目的 热流量 温度分布 强化/减弱导热的措施 导热问题研究的基本方法 理论分析法 数值计算法 实验方法 有限差分法 分子动力学模拟法 边界元法 有限元法 有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。 传热学 Heat Transfer 数值计算方法的基本思想 将时间、空间坐标系中连续的物理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。 1 2 6 3 4 5 数值计算方法的优点： 多维 变物性 复杂几何形状 复杂边界 二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题 Step-1: 控制方程及边界条件 二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题 Step-2: 计算域离散化 x y n m (m,n) M N 基本概念： 网格线 节点（内节点、边界节点） 控制容积 界面线 步长 均匀/非均匀网格 二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题 Step-3: 建立节点离散（代数）方程 建立节点代数方程的基本方法： Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法) 内节点 边界节点 平直边界节点 边界内节点 边界外节点 内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法） 1. 对相邻节点写出温度 t 对内节点(m, n) 的泰勒级数展开式 x : (m,n)的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n) y : (m,n)的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1) X方向 2. 整理得到二阶导数的中心差分 截断误差： 级数余项中的Δx的最低阶数为2 即中心差分格式具有二阶精度。 3. 由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程 中心差分 内节点离散方程的推导（热平衡法） 基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 从所有方向流入控制体的总热量＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量 稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热量＝0 传热学 Heat Transfer 内节点离散方程的推导（热平衡法） (m, n) o y x (m-1,n) (m+1,n) (m,n-1) ?x ?x ?y ?y (m,n+1) 对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。 Step-3: 建立节点离散（代数）方程 基本方法： Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法) 内节点 边界节点 平直边界节点 边界内节点 边界外节点 为什么要建立边界节点的离散方程？ 一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭 将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用Φ表示内热源。 边界节点离散方程的推导（热平衡法）： 二维矩形域内稳态、常物性的导热问题 从所有方向流入控制体的总热量＋ 控制体内热源生成热＝ 0 平直边界节点 边界节点离散方程的推导（热平衡法）： 二维矩形域内稳态、常物性的导热问题 从所有方向流入控制体的总热量＋ 控制体内热源生成热＝ 0 边界外角点 边界节点离散方程的推导（热平衡法）： 二维矩形域内稳态、常物性的导热问题 从所有方向流入控制体的总热量＋ 控制体内热源生成热＝ 0 边界内角点 边界节点离散方程的两个具体问题： 边界热流密度的具体处理方法 绝热边界 第二类边界 第三类边界 不规则边界的处理方法 多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际 坐标变换：保角变换 建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较： 泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷； 泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难； 当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便处理。 作业： （1）将 带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式 （2）4-6；4-9 n个未知节点温度，n个代数方程式： Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 直接解法 迭代解法 直接解法：矩阵求逆、高斯消元法等 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新） Step-4: 设置温度场的迭代初值 迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等