第四章导热问题的数值方法.doc

5 热传导问题的数值方法 5.1一维稳态导热 一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为： (5-1) 式中k为导热系数，T是温度，s是单位容积的热产生率。 首先选定控制和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得： (5-2) 图5.1 控制和网格 然后进行离散化。如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商，那么最终的方程为: (5-3) 假设源项s在任一控制中之值可以表示为温度的线性函数，即，则导出的离散化方程为： (5-4) 式中 (5-5) 式(-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数分别代表了节点P与E间及W与P间导热阻力的数，它们的大小反映了节点W和E处的温度对P点的影响程度。式中的是控制容积中的e和w界面上的当量导系数。计算时，物理参数值存储在节点的位置上。为了确定，还规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。 1、算术平均法 假定k与x呈线性关系，由P与E点的导数系数确定的公式为： （-6） 2、调和平均法 利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导系数的调和平均公式。控制容积中P和E的导系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier定律可得： （-7） 而 则 （-8） 这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。 3、两种方法比较 设，网格均分时， （-9） 即P和E两点间的导热阻力为，表明此时P和E间的热阻主要是由导热系数大的物体所决定，这显然不符合传热学的基本原理。 实际上，此时控制体E构成了热阻的主要部分。P和E间的热阻可表示为： （-10） 从中可以看出与调和平均一致。 令 则 （-11） 因此，总体上看，调和平均要比算术平均更好一些。 .2 边界条件与源项的处理 式（-4）导出的离散方程只适用于内部节点。为了对某个特定的导热问题进行计算，还应加上边界条件。传热的边界条件有三类，即（1）给定边界温度；（2）给出边界热流量；（3）通过换热系数以及周围流体温度给定边界热流量。 如果是第一类边界条件，则就比较简单。但如果是第二或第三类边界，则需要对边界条件进行处理。在有限差分范围内，有两种处理方法，即对边界点补充代数方程和附加源项法。 首先介绍边界点补充代数方程的方法。先讨论区域离散外节点法的情形。在边界给定热流量，如图-2所示，即给定第二类边界条件，可表示为： （-12） 上式可化为： （-13） 即 (-14) 图-2 边界节点控制体 上式的截差为一阶，而内节点上如采用中心差分，则截差为二阶。一般希望内节点与边界点离散方程截差等级保持一致，否则会影响计算结果的准确度。为得出具有二阶截差的公式，可采用虚拟点法。即在右边界外虚设M+1点，这样节点M就可为内节点，其一阶导数可采用中心差分 （-15） 为消去，由一维稳态含内热源的控制方程（-1）可得到在 M点的离散形式，即 （-16） 从以上两式消去可得 (-17) 其中，是节点M所代表的控制的厚度。 对于第三类