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第4章 热传导问题的数值解法 本章具体内容安排： 4.1 导热的问题数值解法的基本思想 离散方程的相容性，收敛性，稳定性问题 * * 数值解法的基本思想及基本步骤； 有限差分法的原理； 能够根据求解域的特点，合理进行求解域离散； 根据热平衡法建立节点温度差分方程； 利用计算机求解节点温度差分方程组 主要研究内容： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4.1 导热问题数值解法的基本思想 4.2 内部节点离散方程的建立方法 4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 4.4 非稳态导热问题的数值解法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1.数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。 2.数值解法求解导热问题的基本步骤： 1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型； 2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程（即导热控制方程）和单值性条件； Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3）求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为需要确定其温度值的空间点或时间点（即节点）, 每个节点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的温度； 4）建立节点温度代数方程组； 5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； 6）对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结果满意为止。 目前求解导热问题常用的数值解法主要有有限差分法、有限元法及边界元法。其中有限差分法比较成熟，应用较广。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限差分法的基本原理：用有限差分近似微分，用有限差商近似微商，将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。 以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明 1 求解域的离散化 考虑根据导热物体的几何形状选择坐标系，利用一组与坐标轴平行的网格线将物体划分成若干个子区域。网格的宽度称为步长。步长大小（即网格疏密）的选择根据问题的需要而定。 1) 子区域的划分 2）节点的选择 选择网格线交点和网格线与物体边界线的交点作为节点 ，每个节点代表以它为中心的子区域 。如：(m,n)节点就代表涂阴影的子区域。 控制方程： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 建立节点离散方程 如何得到各节点的差分方程？？ 建立节点温度差分方程的方法有两种： 1）泰勒级数展开法 2）热平衡法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4.2 内节点离散方程的建立方法 1 泰勒级数展开法 对节点（m+1,n)和（m-1，n)分别写出t在（m,n)节点的泰勒级数展开式： 以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明 将上两式相加略去高阶项则得： 中心差分格式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004