概率論与数理统计第一章总习题答案.doc

概率论与数理统计课后习题答案 第一章总习题 1．填空题 （1）假设是两个随机事件，且，则，； 解：即与互为对立事件，又 所以 （2）假设是任意两个事件，则. 解：. （3）.已知， ， 。则事件、、全不发生的概率为 解：所求事件的概率即为,又从而则，所以 2．选择题 （1）设，，，则下列结论正确的是. （A）事件与事件相互独立；（B）事件与事件互逆； （C）；（D）. 解：因为，而，即，所以事件与事件相互独立，选（A）. （2）设为两个互逆的事件，且，，则下列结论正确的是. （A）；（B）；（C）；（D）. 解：因为为两个互逆的事件，所以当事件发生时，事件是不会发生的，故.选（C）. （3）设，，，则下列结论正确的是. （A）事件与事件互不相容；（B）事件与事件互逆； （C）事件与事件不互相独立；（D）事件与事件互相独立. 解：因为 ，所以事件与事件互相独立.选（D）. 3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双. 设表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则. 4．（找次品问题）盒中有只次品晶体管，只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到只次品晶体管都找到为止，求第次品晶体管在第五次测试中被发现的概率. 解：设表示“第次找到次品晶体管”，则所求概率为： . 5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲胜负.由于特殊原因必须中止比赛.问这元应如何分配才算公平? 解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可. 比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：. 于是，甲应分得元奖金中的元，乙分得元. 6．(彩票问题) 一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示. 幸福35选7的中奖规则 中奖级别 中奖规则 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 7个基本号码全中 中6个基本号码及特殊号码 中6个基本号码 中5个 基本号码及特殊号码 中5个基本号码 中4个基本号码及特殊号码 中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码 (1)试求各等奖的中奖概率 (2) 试求中奖的概率. 解：(1) 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点.要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取： 第一类号码：7个基本号码； 第二类号码：1个特殊号码； 第三类号码：27个无用号码。 在三类号码中抽取，若记为第等奖的概率可得各等奖的中奖概率如下： (2) 若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”则 7．甲从中任取一个数，乙从中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率. 解：设表示甲取得的数大于乙取得的数，表示“甲取的数为”，表示“乙取的数为”，则所求概率为： 由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：，且，，. . 8．从数字中可重复地任取次，每次取一个数，求次所取数的乘积能被整除的概率. 解：次取得的数的乘积能被整除，相当于取得的个数中至少有一个是偶数，另一个是. 设表示“所取的数是”，表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为： . 9．向正方形区域中随机地投一个点，如果是所投点的坐标，试求：（1）有两个实根的概率；（2）方程有两个正实根的概率. 解：（1）设表示“有两个实根”， 有两个实根的充要条件是 ， 即. 故. （2）设表示“方程有两个正实根”，则方程有两个正实根的条件是：，，，即. 故. 10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率. 解：设表示“前两个球放在不同的盒子中”，表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为.样本空间含样本点总数为含样本点总数为个，含样本点总数为个,故 . 11．设件产品中有件不合格品，从中任取两件. （1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率； （2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率. 解：设表示“取出的两件产品中有件合格品”，则. （1）. 或 . （2）. 12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率. 解：设表示“第次取得红球”，则所求概率为： 13．12个乒