bx1数学第二章函数zj[整理版].doc

2.1，2.2函数的概念及表示 一、基础知识 （一）、函数的有关概念 1。函数的定义：设A,B是非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A,中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A, 其中x叫做自变量。X的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。 2。两个函数的相等：函数的定义含有三个元素：定义域、值域、和对应法则。（也称为函数的三要素） 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，对应法则是核心，定义域是灵魂。 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。注意：解析式可以化简。 3．研究函数必须遵循“定义域优先”的原则。 4。函数是一类特殊的映射，它要求A,B非空且皆为数集。 5．函数记号y=f(x)的理解。 对应法则f是函数概念的核心，y=f(x)的含义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是对应得以实现的方法和途径，是联系x与 y的纽带，因此f是函数关系的本质特征。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，则无关紧要。 符号y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示形式，它是数学符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是函数解析式。且f(a)的含义与f(x)有不同，前者表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量，后者是x的函数，在通常情况下，是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值 （二）、函数的三种表示法： (1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。 （2）列表法：求是列出表格来表示两个变量的函数关系。 （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 （三）、求函数的解析式常见类型及方法： 1．定义法：由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成g(x)的表达式，然后以x代g(x)，便得f(x)的表达式。常需“凑配”。 2．变量代换法：由已知条件f[g(x)]=F(x)，可令t=g(x),然后反解出x=g-1(t)代入F(x)即可得f(t)表达式. 注意：换元法求解析式时要注意换元后变量范围应保持一致。 3．待定系数法：有时题给出函数特征，求函数的解析式，可用待定系数法，比如函数是二次函数，可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其中a,b,c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a,b,c即可. 4．函数方程法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量。如等，将f(x)作为一个未知数来考虑。建立方程（组），消去另外的未知数便得f(x)的表达式。 5．参数法：引入某个参数，然后写出用这个参数表示变量的式子（即参数方程），在消去参数便得f(x)的表达式。 6．利用函数的性质:及根据所给函数的性质及函数在某一区间上的表达式，求另一区间上的表达式。 7．赋值法：通过取特殊值或变量换变量，然后通过解方程组求出函数解析式。 8．建模法：根据某实际问题须建立一种函数关系式，这种情况须引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式。 9．函数在其定义域的不同子集上，若解析式不同可采用分段函数的形式。 （四）、求函数定义域的常见形式： 1。给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； 2．实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何意义有意义； 3．不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的定义域.。 (复合函数：如果函数y=f(t)的定义域A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y= f[g(x)]为f(x)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫中间变量，t=g(x)叫内函数，y=f(x)叫外函数。) 复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定 4．熟练掌握基本初等函数（尤其是分式函数、指数函数、对数函数、三角函数）的定义域 （五）、函数的值域 求值域首先明确定义域，通过对应法则求值域 求函数的值域的常用的方法有： 观察法：求函数y=的值域 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法。抓住对称抽，注意限定区间是解决这类问题的关键。可简记“抓轴讨论”，千万注意限定区间是隐含条件。 3.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定