第二章 杆件系统的有限元法.ppt

有限元法 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i i i i i i v u cos sin sin cos v u ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 对于梁单元如图所示，则有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j j j i i i j j j i i i v u v u cos sin sin cos cos sin sin cos v u v u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可简写为矩阵形式 ? ? ? ? ? ? e e T ? ? ? ? ? sin v cos u u i i i ? ? ? ? cos v sin u v i i i ? ? ? i i ? ? ? 有限元法 同理 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 xi xi yi yi i i xj xj yj yj j j F F F F M M F F F F M M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 写成矩阵形式 cos sin sin cos xj xj yj yj xj yj j j F F F F F F M M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e e F T F ? 式中 —— 平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体 坐标系的转换矩阵。 ? ? T 有限元法 33 ? ? ? ? ? ? e e F T F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? T ? ? ? ? ? ? e e T ? ? ? 力与位移坐标转换关系 对于转换矩阵，令 cos α = λ , sin α = μ ，则有 ? ? ? ? 1 ? ? T T T 有限元法 2.3.4 整体坐标系下的单元刚度矩阵 ? ? ? ? ? ? e e e δ K F ? ? ? ? ? ? ? ? ? T K T K e T e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e e T e e e T K T T K T F ? ? ? ? ? 1 局部坐标系下 带入转换矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e e e δ T K F T ? 整体坐标系下，力与位移关系 ? ? ? ? ? ? e e e K F ? ? 单元刚度矩阵在整体坐标系和局部坐标系下的转换关系 有限元法 代入转换矩阵和局部坐标单元刚度矩阵，得整体坐 标系下刚度矩阵： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ] [ ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? L AE e K 此为对称矩阵，并且可以看做 4 个子矩阵组成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ e e e e e L AE k k k k K ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ] [ ? ?? ?? ? e k 有限元法 因此，得到杆件系统整体坐标系下的力与位移方程 ? ? δ [K ] {F} ? 对于各节点位移，每个杆的受力与其两端节点位移相关： ? ? ? ? ? ? ? ? ? i j i j ij ij v v u u L AE F ] , [ ? ? 有限元法 在总体坐标系（全局坐标系）下得到杆件单元刚度矩 阵之后，可以将刚度矩阵叠加起来，得到整个杆件系统 的刚度矩阵： ? 在全局坐标系内，任意节点相连的各单元，在此节点 处的位移是相同的，它们