(精)函数的表示、定义域与值域——复习归纳__第二讲_(教师用).doc
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精典专题系列第2讲 函数的表示、定义域、值域
一、导入:冷笑话《冷血杀手》
二、知识点回顾:
1.函数与映射的概念
函 数
映 射
两集合A、B
A、B是两个非空
A、B是两个非空
对应关系f:A→B
按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的 一个数x,在集合B中有 的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f,对于集合A中的
一个元素x在集合B中有 的元素y与之对应
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量, 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值, 叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素: 、 和 .
3.相等函数
如果两个函数的 相同,并且 完全一致,则这两个函数为相等函数.
4.函数的表示方法
表示函数的常用方法有: 、 和 .
5.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ,其值域等于各段函数的值域的 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
6.常见基本初等函数的定义域
(1)分式函数中分母 .
(2)偶次根式函数被开方式 .
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 .
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx,定义域均为 .
(5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为 .
(6)y=tanx的定义域为 .
(7)函数f(x)=x0的定义域为 .
(8)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
7.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是 .
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a0时,值域为 ;当a0时,值域为 .
(3)y=(k≠0)的值域是 .
(4)y=ax(a0且a≠1)的值域是 .
(5)y=logax(a0且a≠1)的值域是 .
(6)y=sinx,y=cosx的值域是 .
(7)y=tanx的值域是 .
三、专题训练:
专题一
求函数的解析式
(1)已知f(x-3)=x2+1,求f(x);
(2)已知f(x+1x)=x2+1x2,求f(x+1);
(3)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x).
[自主解答] (1)法一:(换元法)设x-3=t,则x=t+3,
∴f(x-3)=f(t)=(t+3)2+1=t2+6t+10,
∴f(x)=x2+6x+10.
法二:(配凑法)∵f(x-3)=x2+1=x2-6x+9+6x-8
=(x-3)2+6x-8=(x-3)2+6(x-3)+10,
∴f(x)=x2+6x+10.
(2)法一:(换元法)设x+1x=t(t≥2或t≤-2),
则(x+1x)2=t2,
∴x2+1x2=t2-2,
∴f(t)=t2-2,∴f(x)=x2-2,
∴f(x+1)=(x+1)2-2=x2+2x+1-2
=x2+2x-1(x≥1或x≤-3).
法二:(配凑法)∵f(x+1x)=x2+1x2=(x+1x)2-2,
∴f(x)=x2-2,
故f(x+1)=(x+1)2-2=x2+2x-1(x≥1或x≤-3).
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数,
故设f(x)=kx+b(k≠0),
∴f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.
又∵f[f(x)]=4x+3,
∴k2x+kb+b=4x+3,
故k2=4,kb+b=3,)解得k=2,b=1,)或k
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