2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 第2课时 定点、定值、范围、最值问题学案 理 北师大版.doc
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第2课时 定点、定值、探索性问题
题型一 定点问题
典例 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
(1)解 由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1，
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设知k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，
解得k＝－.
当且仅当m－1时，Δ0，
于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l过定点(2，－1)．
思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
跟踪训练 (2017·长沙联考)已知椭圆＋＝1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
(1)解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意mt0，∴mt＝－1，满足②，
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
题型二 定值问题
典例 (2017·广州市综合测试)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
解 (1)因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，
所以＋＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，所以a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)方法一 因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，
所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称．
设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.
所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，
直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．
设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
由
得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－4＝0.①
因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则2xP＝，
所以xP＝.
同理xQ＝.
所以xP－xQ＝－，xP＋xQ＝.
又yP－yQ＝k(xP＋xQ－4)＝－，
所以直线PQ的斜率kPQ＝＝，
所以直线PQ的斜率为定值，该值为.
方法二 设直线PQ的方程为y＝kx＋b，
点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，
直线PA的斜率kPA＝，
直线QA的斜率kQA＝.
因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称，
所以kPA＝－kQA，即＝－，
化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.
把y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，化简得
2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4b＋4＝
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