2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线学案 理 北师大版.doc

§9.7　双曲线 最新考纲 考情考向分析 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的简单性质. 1．双曲线定义 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和简单性质 标准方程 －＝1(a0，b0) －＝1(a0，b0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (ca0，cb0) 知识拓展 巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn0)． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　) (2)方程－＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　) (3)双曲线方程－＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　) (5)若双曲线－＝1(a0，b0)与－＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　√　) 题组二　教材改编 2．若双曲线－＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　) A. B．5 C. D．2 答案　A 解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0， ∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝＝5，∴e＝. 3．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案　－＝1 解析　设双曲线的方程为－＝±1(a0)， 把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)， 故所求方程为－＝1. 题组三　易错自纠 4．(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 答案　A 解析　∵方程－＝1表示双曲线， ∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2， 由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1， ∴－1n3，故选A. 5．若双曲线－＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4， 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2， ∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D. 6．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为_______． 答案　－y2＝1 解析　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 题型一　双曲线的定义及标准方程 命题点1　利用定义求轨迹方程 典例 (2018·大连模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． 答案　x2－＝1(x≤－1) 解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2