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2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程学案 理 北师大版.doc

发布:2018-05-15约9.28千字共14页下载文档
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§9.3 圆的方程 最新考纲 考情考向分析 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 以考查圆的方程,与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点,属中档题.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,有时也会在解答题中出现. 圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆 方程 标准式 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0) 圆心为(a,b) 半径为r 一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F0 圆心坐标: 半径r= 知识拓展 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组. (3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程. 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2r2. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( √ ) (3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF0.( √ ) (4)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.( × ) (5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.( √ ) (6)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × ) 题组二 教材改编 2.(2018·南昌模拟)以点(3,-1)为圆心,并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是(  ) A.(x-3)2+(y+1)2=1 B.(x-3)2+(y-1)2=1 C.(x+3)2+(y-1)2=1 D.(x+3)2+(y+1)2=1 答案 A 3.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为 . 答案 (x-2)2+y2=10 解析 设圆心坐标为C(a,0), ∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上, ∴|CA|=|CB|, 即=, 解得a=2, ∴圆心为C(2,0), 半径|CA|==, ∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 题组三 易错自纠 4.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是(  ) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 B 解析 将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程得2+(y-1)2=-2. 由其表示圆可得-20,解得m-2或m2. 5.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(  ) A.-1a1 B.0a1 C.a1或a-1 D.a=±4 答案 A 解析 ∵点(1,1)在圆内, ∴(1-a)2+(a+1)24,即-1a1. 6.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(  ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 答案 A 解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为(a,1)(a0),又圆与直线4x-3y=0相切, ∴=1,解得a=2或a=-(舍去). ∴圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A. 题型一 圆的方程 典例 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 . 答案 (x-3)2+y2=2 解析 方法一 由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.① 过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,② 联立①②,解得 所以圆心坐标为(3,0), 半径r==, 所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2. 方法二 设圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 因为点A(4,1),B(2,1)都在圆上, 故 又因为=-1,解得a=3,b=0,r=, 故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2. (2
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