2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程学案 理 北师大版.doc

§9.3　圆的方程 最新考纲 考情考向分析 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 以考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现. 圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆 方程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0) 圆心为(a，b) 半径为r 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F0 圆心坐标： 半径r＝ 知识拓展 1．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程． (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组． (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.(　√　) (4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　×　) (5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　√　) (6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　×　) 题组二　教材改编 2．(2018·南昌模拟)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－3)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 答案　A 3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为 ． 答案　(x－2)2＋y2＝10 解析　设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即＝， 解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝＝， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 题组三　易错自纠 4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案　B 解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2. 由其表示圆可得－20，解得m－2或m2. 5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．－1a1 B．0a1 C．a1或a－1 D．a＝±4 答案　A 解析　∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1. 6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 答案　A 解析　由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切， ∴＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A. 题型一　圆的方程 典例 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为 ． 答案　(x－3)2＋y2＝2 解析　方法一　由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.① 过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，② 联立①②，解得 所以圆心坐标为(3,0)， 半径r＝＝， 所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2. 方法二　设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)， 因为点A(4,1)，B(2,1)都在圆上， 故 又因为＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2. (2