2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程学案 理 北师大版.doc
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§9.3 圆的方程
最新考纲 考情考向分析 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 以考查圆的方程,与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点,属中档题.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,有时也会在解答题中出现.
圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆 方程 标准式 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0) 圆心为(a,b) 半径为r 一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F0 圆心坐标: 半径r=
知识拓展
1.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组.
(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.
2.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)
(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2r2;
(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2r2.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )
(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.( √ )
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF0.( √ )
(4)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.( × )
(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.( √ )
(6)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × )
题组二 教材改编
2.(2018·南昌模拟)以点(3,-1)为圆心,并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=1 B.(x-3)2+(y-1)2=1
C.(x+3)2+(y-1)2=1 D.(x+3)2+(y+1)2=1
答案 A
3.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为 .
答案 (x-2)2+y2=10
解析 设圆心坐标为C(a,0),
∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,
∴|CA|=|CB|,
即=,
解得a=2,
∴圆心为C(2,0),
半径|CA|==,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
题组三 易错自纠
4.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-)∪(,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案 B
解析 将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程得2+(y-1)2=-2.
由其表示圆可得-20,解得m-2或m2.
5.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是( )
A.-1a1 B.0a1
C.a1或a-1 D.a=±4
答案 A
解析 ∵点(1,1)在圆内,
∴(1-a)2+(a+1)24,即-1a1.
6.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A
解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为(a,1)(a0),又圆与直线4x-3y=0相切,
∴=1,解得a=2或a=-(舍去).
∴圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A.
题型一 圆的方程
典例 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
答案 (x-3)2+y2=2
解析 方法一 由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.①
过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②
联立①②,解得
所以圆心坐标为(3,0),
半径r==,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
方法二 设圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),
因为点A(4,1),B(2,1)都在圆上,
故
又因为=-1,解得a=3,b=0,r=,
故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2.
(2
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