2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第九章　平面解析几何+第8讲　第2课时　定点、定值、范围、最值问题+Word版含答案.doc

第2课时　定点、定值、范围、最值问题 一、选择题 1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1. 答案　C 2．(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　) A. B. C．4 D．5 解析　由·＝0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，所求的距离d＝，故选B. 答案　B 3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　) A．2 B．2 C．8 D．2 解析　根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上， ＋＝1，可得m＝2. 答案　B 4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(1,3] D．(1,3) 解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0. 渐近线与抛物线有交点，Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，c＝≥3a，e＝≥3. 答案　A 5．(2017·宝鸡一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为y＝x＋t，由消去y， 得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则x1＋x2＝－t，x1x2＝. |AB|＝|x1－x2|＝· ＝·＝·， 当t＝0时，|AB|max＝. 答案　C 二、填空题 6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________． 解析　由条件知双曲线的焦点为(4,0)， 所以解得a＝2，b＝2， 故双曲线方程为－＝1. 答案　－＝1 7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________． 解析　·＝0，⊥. ∴||2＝||2－||2＝||2－1， 椭圆右顶点到右焦点A的距离最小， 故||min＝2，||min＝. 答案　 8．(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，e＞1，1＜e≤2. 答案　(1,2] 三、解答题 9.如图，椭圆E：＋＝1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1， 于是解得a＝2，b＝. 所以椭圆E方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋1， A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)0， 所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－. 从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2 ＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＝－－λ－2. 所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3. 此时，·＋λ·＝－3为定值． 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD， 此时·＋λ·＝·＋·＝ －2－1＝－3， 故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3. 10．(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)． (1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)； (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0. 故