2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第九章　平面解析几何+第8讲　第1课时　直线与圆锥曲线+Word版含答案.doc

第8讲　圆锥曲线的综合问题 第1课时　直线与圆锥曲线 一、选择题 1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 解析　通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条． 答案　B 2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点． 答案　A 3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　) A．－3 B．－ C．－或－3 D．± 解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－. 答案　B 4．抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　) A. B. C．2 D. 解析　设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝， x＝时， dmin＝. 答案　B 5．已知A，B，P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析　设A(x1，y1)，P(x2，y2)根据对称性，得B点坐标为 (－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上， 所以两式相减，得kPAkPB＝＝， 所以e2＝＝，故e＝. 答案　D 二、填空题 6．(2017·西安调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________． 解析　由题意得解得椭圆C的方程为＋＝1. 答案　＋＝1 7．已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________． 解析　由题设知p＝＝2，a＝. 抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1. 联立消去x， 整理得y2－6y＋1＝0，y1＋y2＝6，直线过焦点F， 所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8. 答案　8 8．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________． 解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由于A，B两点均在椭圆上， 故＋＝1，＋＝1， 两式相减得 ＋＝0. 又P是A，B的中点，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， kAB＝＝－. 直线AB的方程为y－1＝－(x－3)． 即3x＋4y－13＝0. 答案　3x＋4y－13＝0 三、解答题 9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a， l的方程为y＝x＋c，其中c＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2， 所以E的离心率e＝＝＝. (2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1， 得c＝3，从而a＝3，b＝3. 故椭圆E的方程为＋＝1. 10.已知椭圆C：＋＝1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当AMN的面积为时，求k的值． 解　(1)由题意得 解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝ 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1. 11．已知椭圆＋＝1(0＜b＜