2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-选修4-5 第2节-不等式的证明.doc

第2节　不等式的证明 最新考纲　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、 知 识 梳 理 基本不等式 定理1：如果aR，那么a＋b当且仅当a＝b时等号成立. 定理2：如果a那么，当且仅当a＝b时等号成立即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理3：如果aR＋那么，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 不等式的证明方法 (1)比较法 作差法(aR)：a－b0?；a－b0?；a－b＝0?＝b. ②作商法(a0)：?ab；?ab；＝1?＝b. (2)综合法与分析法 综合法：从已知条件出发利用定义、公理、定理、性质等经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. 分析法：从要证的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件所需条件为已知条件 诊 断 自 测 思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.(　　) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法它是从已知条件出发经过逐步推理最后达到待证的结论.(　　) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法是从待证结论出发一步一步地寻(　　) (4)使用反证法时反设”不能作为推理的条件应用.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2若ab1＝a＋＝b＋则x与y的大小关系是(　　) 解析　x－y＝a＋－ ＝a－b＋＝ 由ab1得ab1－b0 所以即x－y0所以xy. 答案　 3.(选修4－5习题2.1改编)已知a≥b0M＝2a－b＝2ab－a则M的大小关系为________ 解析　2a－b－(2ab－a)＝2a(a－b)＋b(a－b)＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b0所以a－b≥0＋b0＋b0 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0故2a－b－a 答案　M≥N 已知a0且(a＋b)＝0则＋的最小值是________ 解析　由题意得＋b＝1 ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋＋＝4.当且仅当a＝b＝时等号成立. ＋的最小值是4. 答案　4 已知x0证明：(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥9xy. 证明　因为x0 所以1＋x＋y0，1＋x＋y≥3故(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥3＝9xy. 考点一　比较法证明不等式 【例1－1】 (2017·江苏卷)已知a为实数且a＋b＝4＋d＝16.试证明：ac＋bd≤8. 证明　∵(a＋b)(c2＋d)－(ac＋bd) ＝a＋a＋b＋b－(a＋b2acbd) ＝b＋a－2acbd＝(bc－ad) ∴(a2＋b)(c2＋d)≥(ac＋bd) 又a＋b＝4＋d＝16. 因此(ac＋bd)从而ac＋bd≤8. 【例1－2】 (一题多解)已知a0求证：＋＋ 证明　法一　因为＋－(＋) ＝ ＝ ∵a0，b0，∴0. 因此＋＋ 法二　由于＝ ＝ ＝－1≥－1＝1. 又a00， 所以＋＋ 规律方法　1.作差(商)证明不等式关键是对差(商)式进行合理的变形特别注意作商证明不等式不等式的两边应同号. 在例1－2证明中法一采ab转化为证明(b0). 提醒　在使用作商比较法时要注意说明分母的符号. 【训练1】 设a是非负实数求证：a＋b(a＋b). 证明　因为a＋b－(a＋b) ＝(a－ab2－b) ＝a(－)＋b(－) ＝(－)(a－b) ＝(a－b)(a－b). 因为a≥0所以不论a≥b≥0还是0≤a≤b都有a－b与a－b同号所以(a－b)(a－b)≥0 所以a＋b(a＋b). 考点二　综合法证明不等式 【例2－1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a0且a3＋b＝2. 证明：(1)(a＋b)(a＋b)≥4； (2)a＋b≤2. 证明　(1)∵a0且a＋b＝2. 则(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋a＋b ＝(a＋b)2－2a＋ab(a＋b) ＝4＋ab(a－2a＋b) ＝4＋ab(a－b)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a＋3a＋3ab＋b＝2＋3ab(a＋b) ＋(a＋b)＝2＋ 所以(a＋b)因此a＋b≤2. 【例2－2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋为不等式f(x)2的解集. (1)求M； (2)证明：当a时＋b||1＋ab|. (1)解　f(x)＝ 当x≤－时由f(x)2得－2x2 解得x－1所以－1x≤－； 当－时(x)2恒成立. 当x≥时由f(x)2得2x2 解得x1所以 所以f(x)2的解集M＝{x|－1x1}. (2)证明　由(1)知当a时－1a1－1b1 从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－a－1 ＝(a－1)(1－b)0， 所以(a＋b)(1＋ab)因此|a＋b||1＋ab|. 规律方法　1.综合法证明不等式要着力分析已知与求证之间不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换恰当选择已知不等式这是证明的关键. 在用综合法证明不等