2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-选修4-5 第1节-绝对值不等式.doc

第1节　绝对值不等式 最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知 识 梳 理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a (－a，a) ? ? |x|a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c (c0)和|ax＋b|≥c (c0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.(　　) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.(　　) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(　　) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|2的解集是(　　) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2， ∴－42，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2， ∴x4，∴1x4， ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4). 答案　A 3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________. 解析　由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3. 要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3. 答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞) 4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案　2 5.(2016·江苏卷)设a0，|x－1|eq \f(a,3)，|y－2|eq \f(a,3)，求证：|2x＋y－4|a. 证明　因为|x－1|eq \f(a,3)，|y－2|eq \f(a,3)， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)| ≤2|x－1|＋|y－2|eq \f(2a,3)＋eq \f(a,3)＝a. 故原不等式得证. 考点一　绝对值不等式的解法 【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|1的解集. 解　(1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≤－1，,3x－2，－1x≤ \f(3,2)，,－x＋4，x\f(3,2)，)) 故y＝f(x)的图象如图所示. (2)由f(x)的解析式及图象知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 当f(x)＝－1时，可得x＝eq \f(1,3)或x＝5. 故f(x)1的解集为{x|1x3}；f(x)－1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x\f(1,3)，或x5)). 所以|f(x)|1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x\f(1,3)，或1x3，或x5)). 【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围. 解　(1)