3 第3讲　函数的奇偶性及周期性.doc

专注：心无旁骛，万事可破

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第3讲函数的奇偶性及周期性

最新考纲

考向预测

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

命题

趋势

以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.

核心

素养

数学抽象、逻辑推理

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0)．

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0)．

常见误区

1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．

3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()

答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√

2．下列函数中为偶函数的是()

A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx

C．y＝|lnx| D．y＝2－x

解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.

3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是()

A．－1 B．1

C．－3 D．0

解析：选B.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B.

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．

解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：－2

5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x0，,x，0≤x1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．

解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝feq\b\lc