15 函数的奇偶性和周期性 2.doc

第5讲 函数的奇偶性和周期性 ★知识梳理 1．函数的奇偶性的定义： ①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 ②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 函数的周期性命定义： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 ★重、难点突破 重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用 难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意①若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；②若是奇函数且在处有定义，则③若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。 2．奇偶函数图象的对称性 若是偶函数，则的图象关于直线对称； 若是偶函数，则 的图象关于点中心对称； 3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况： （1）函数值之和等于零型，即函数 对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是 （2）函数图象有，两条对称轴型 函数图象有，两条对称轴，即， ，从而得， 故函数的周期是 两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型 若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是 分式递推型，即函数满足 由得，进而得 ，由前面的结论得的周期是 ★热点考点题型探析 考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·； （3）；（4） [思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 [解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0. 从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x） 故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 【名师指引】 eq \o\ac(○,1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 eq \o\ac(○,2)分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性 [例2] （11年山东梁山）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的， 都有. 求证f (x)为奇函数； [思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理 “赋值” [解析]令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0 令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1) ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0 ∴ f (－x) =－f (x) ∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数 【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) [新题导练] 1．（11广东电白一中）设函数为奇函数，则___________。 [解析]0；由函数为奇函数得到，即 所以 2．（高州中学11届训练题）已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ） A．0；B．；C．1；D． [解析]B；由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是0 3．定义两种运算：，