韦达定理、判别式与二次函数-专题辅导.doc

韦达定理、判别式与二次函数

王万军

一元二次方程是二次函数的函数值等于零时的特殊情况。有些二次函数问题，可以利用一元二次方程根与系数的关系〔即韦达定理〕来解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函数图象直观判定；二次函数的图象与x轴交点、图象的位置，也可以用判别式判断。

对于一元二次方程和二次函数，设。

〔1〕当△0时，方程有两个不等实数根，函数图象与x轴有两个不重合的交点〔〕、〔〕。

〔2〕当△=0时，方程有两个相等的实数根，函数图象与x轴有唯一交点，即图象与x轴相切。

〔3〕当△0时，方程无实数解，函数图象与x轴无交点，假设a0，那么图象在x轴上方，假设a0，那么图象在x轴下方。

例1.抛物线轴交于点A〔α，0〕和B〔β，0〕，且，求k的值。

解：由题意，α、β是方程的两根，所以。

评注：这是一元二次方程根与系数的关系〔即韦达定理〕在二次函数中的应用，解二次函数中的有关参数问题，首先考虑的方法就是韦达定理法。

例2.抛物线与x轴的两个交点在点〔1，0〕两旁，试判断关于x的方程的根的情况。

解：设抛物线与x轴两个交点的坐标为。

那么有。

由题意得

∴此方程无实数根。

例3.二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，那么△ABC的面积为〔〕

A.6 B.4

C.3 D.1

解：设

例4.设，求证：方程有两个不等实数根，并且有一根在a与b之间，另一根在b与c之间。

证明：构造函数

当时，；

当时，；

当时，

经整理，函数即

这是一个图象开口向上的二次函数。

不妨设，，那么其大致图象如下列图所示。

显见函数图象与x轴的交点一个在a与b之间，另一个在b与c之间，即方程有两个不等实数根，且一根在a与b之间，另一根在b与c之间。

例5.方程，其中k为实数且，不解方程

证明：方程的一个根大于1，另一个根小于1。

分析：对二次函数，

当时，假设时，，

那么其图象与x轴两交点的横坐标满足；

当时，假设时，，

有，这些结论画出图象显而易见。

证明：构造函数。

显然当。

故一元二次方程，

即，一个根大于1，另一个根小于1。