二次型与其标准型课件.ppt

§5. 二次型及其标准型; (1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。;一、二次型概念;二次型的矩阵形式;爷卢斡厄搪刚坷许瑞辩楞值袍牙程舆登棵揍隙灾唾诉妹秦颐账钞贩骗田喂二次型与其标准型课件二次型与其标准型课件;其中;例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；;二、二次型的标准形; 所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：; 定理9 任给可逆矩阵 C ，令 B=C TAC，若 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。; 这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx; 也就是要使 C TAC 成为对角阵，即， C TAC=∧，因此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A ，寻求可逆矩阵 C ，使 C TAC=∧. 由上节定理 8 知 , 任给实对称矩阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP =∧. 把此结论用于二次型，即有：