用正交变换化二次型为标准型.ppt

用正交变换化二次型为标准型2.把二次型化标准型的根据与步骤：要使二次型经可逆线性变换变成标准形，这就是要使寻求可逆矩阵C使得：为对角阵。这个问题称为把对称阵A合同对角化因此，上述等价的问题就是：对于对称阵A成为对角阵。也就是要使由上节定理5。8知，任给对称阵A总有正交阵P，使。把此结论应用于二次型，即有定理5.9任给二次型使之化为标准形其中推论任给n元二次型使为规范形。总有正交变换是f的矩阵A的特征值总有正交变换用正交变换化二次型为标准形的步骤为：写出f对应的实对称矩阵A寻找正交矩阵P，；则正交变换。使例5.5.1求一个正交变换把二次型02解：二次型的矩阵为01化为标准形。这与例所给矩阵相同。按例的结果，有正交阵01使02，于是有正交变换，把二次型f化成标准形01添加标题如果要把二次型化成规范形只需令：02添加标题则得f的规范形为：01添加标题例5.5.2用正交变换将二次型02添加标题化为标准形．若设03添加标题，问该曲面为何种类型的曲面.二次型的矩阵为解：得A的特征值为：添加标题当01添加标题求解02添加标题因为它们已正交，故只需单位化为03添加标题。04添加标题，得两个线性无关的特征向量为05