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实验六 连续时间信号和系统的复频域分析 6.1 实验目的 1. 理解连续时间信号的拉普拉斯变换及其逆变换；2. 掌握连续时间信号和系统的复频域分析方法；3. 使用 MATLAB分析连续时间信号和系统的复频域特性，实现系统的零极点分 析、稳定性分析和系统函数的求解；4. 了解 symbolic math toolbox工具箱的基本用法。 6.2 实验原理 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换可用来分析非绝对可积的信号、非稳定系统等一些用傅里叶变换 不能解决的问题。它的定义式为 X (s) = ∫ ∞ ?∞ x (t) e?stdt , 其中复变量 s = σ+ jω 称为复频率，(σ, jω)构成的复平面称为 s平面。X(s)是复 频率 s的复函数。拉普拉斯变换存在收敛域（ROC），即 σ = Re {s}有一定的选取 范围，不同的选取范围对应不同的时间信号。在 s平面 ROC的边界是平行于 jω轴 的区域。当信号拉普拉斯变换的 ROC包含 jω轴时，信号的傅里叶变换收敛。 如果研究的是 0?系统，则有单边拉普拉斯变换 X (s) = ∫ ∞ 0? x (t) e?stdt . 61 6.2 实验原理 实验六 连续时间信号和系统的复频域分析 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯逆变换的定义式为 x (t) = 1 2π j ∫ σ+ j∞ σ? j∞ X (s) estds . 通常 X(s)是有理函数，可用部分分式展开的方法将其分解为低价分式的线性组合， 根据收敛域确定各分式的拉普拉斯逆变换，从而求出 x(t)。 系统的复频域分析 拉普拉斯变换是分析连续时间系统的重要工具。系统单位冲激响应的拉普拉斯 变换 H(s)称为系统函数。如果系统是有理的，则通过分析系统的零、极点可以得 到系统稳定性、因果性等信息，对于有理系统，对系统的微分方程取单边拉普拉斯 变换，可以计入系统的初始条件，直接求出系统的系统的全响应。 MATLAB的应用 MATLAB提供了一系列的工具和函数帮助我们进行信号和系统的复频域分析： 1. 信号的拉普拉斯及逆变换MATLAB的符号运算工具箱 symbolic math toolbox提供了能直接求解单边信 号拉普拉斯变换及逆变换的数学表达式的函数，分别为laplace和ilaplace函 数。例如 syms t s; % Define symbolic variables 2 xt = exp(-2*t)*cos(pi*t); Xs = laplace(xt) 4 Hs = 9*s^2/(s^2+2*s+10); ht = ilaplace(Hs) 可直接求得 e?2t cos (πt) u (t)的拉普拉斯变换的数学表达式为 s+2 (s+2)2+π2 ，以及 9s2 s2+2s+10 的拉普拉斯逆变换的数学表达式为 9δ (t)?18e?t (cos 3t + 4 3 sin 3t) u (t)。 其中第一行的syms用来生成符号变量和函数。注意这里得到的结果也是符号 对象。如果要计算函数的值，可以用matlabFunction将符号表达式转换为相应 的函数，例如 62 实验六 连续时间信号和系统的复频域分析 6.2 实验原理 matlabFunction(Xs,file,lx.m); 可在当前目录下新建一个lx.m文件，通过调用lx函数即可得到函数值。或者 可直接生成一个虚拟函数句柄供后面的程序调用： lx=matlabFunction(Xs); 某些低版本的 symbolic math toolbox 中可能没有提供matlabFunction函数， 此时可以用subs函数将自变量（或参量）的值代入函数，例如对于上面求出 的ht，以下的程序 t=0:0.1:10; fht=subs(ht); plot(t,fht); 可得到并画出各个时刻ht的值。2. 部分分式展开 用 MATLAB的residue函数可直接求出有理分式的部分分式展开： H (s) = N (s) D (s) = n∑ j=0 b js j m∑ i=0 aisi = m∑ i=1 ki s ? pi + m?n∑ j=0 c js j . 如果有理分式的分子或分母存在多项式相乘的情况，可先用卷积函数conv实 现多项式相乘。例如将 H (s) = (s + 1) (s + 3) s (s + 2) (s + 4) 部分分式展开，只需 b = conv([1 1],[1,3]); 2 a = conv([1 0],[1 2]); a = conv(a,[1 4]); 4 [k,p,c]=residue(b,a); 即可。结果为 H (s) = 3 8 1 s + 1 4 1 s + 2 + 3 8 1 s + 4 .3. 系统的零、极点分析 用MATLAB的